1. \int \frac{(3 x+5) d x}{\sqrt{x(2 x-1)}} (resp. \frac{3}{2} \sqrt{2 x^{2}-x}+\frac{23}{4 \sqrt{2}} \log \left|4 x-1+\sqrt{16 x^{2}-8 x}\right|+C )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{(3x+5)\,dx}{\sqrt{x(2x-1)}}.
  • Informação útil imediata que podemos extrair do enunciado: \sqrt{x(2x-1)}=\sqrt{2x^{2}-x}.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\dfrac{3x+5}{\sqrt{2x^{2}-x}}.

Passo 2

Reescrever a integral de forma mais simples e observar uma estratégia.
  • Reescrevendo:
\int \frac{3x+5}{\sqrt{x(2x-1)}}\,dx=\int \frac{3x+5}{\sqrt{2x^{2}-x}}\,dx.
  • Observação técnica útil: a derivada de 2x^{2}-x é 4x-1. Então é conveniente tentar escrever o numerador 3x+5 como combinação linear de 4x-1 mais uma constante:
3x+5 = A(4x-1)+B.
  • Vamos achar A e B.

Passo 3

Determinar A e B e dividir a integral em duas parcelas.
  • Igualando coeficientes:
A(4x-1)+B = 4Ax - A + B \equiv 3x + 5.
Isso dá o sistema 4A = 3 e -A + B = 5.
  • Logo A=\dfrac{3}{4} e B=5+A=5+\dfrac{3}{4}=\dfrac{23}{4}.
  • Portanto
\frac{3x+5}{\sqrt{2x^{2}-x}}=\frac{3}{4}\,\frac{4x-1}{\sqrt{2x^{2}-x}}+\frac{23}{4}\,\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-x}}.
  • A integral separa-se:
\int \frac{3x+5}{\sqrt{2x^{2}-x}}\,dx =\frac{3}{4}\int\frac{4x-1}{\sqrt{2x^{2}-x}}\,dx +\frac{23}{4}\int\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-x}}\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral (a que contém 4x-1) usando substituição direta.
  • Faça a substituição u=2x^{2}-x. Então du=(4x-1)\,dx.
  • Assim
\frac{3}{4}\int\frac{4x-1}{\sqrt{2x^{2}-x}}\,dx =\frac{3}{4}\int\frac{du}{\sqrt{u}} =\frac{3}{4}\cdot 2\sqrt{u} =\frac{3}{2}\sqrt{u}.
  • Voltando a x:
\frac{3}{2}\sqrt{2x^{2}-x}.

Passo 5

Calcular a segunda integral \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-x}} completando o quadrado.
  • Começar completando o quadrado em 2x^{2}-x:
2x^{2}-x = 2\Bigl(x^{2}-\frac{x}{2}\Bigr) =2\Bigl((x-\tfrac{1}{4})^{2}-\tfrac{1}{16}\Bigr) =2(x-\tfrac{1}{4})^{2}-\tfrac{1}{8}.
  • Defina t=\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{4}). Então
t^{2}=2(x-\tfrac{1}{4})^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-x=t^{2}-\tfrac{1}{8},
e dx=\dfrac{dt}{\sqrt{2}}.
  • A integral transforma-se em
\int\frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-x}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2}-\tfrac{1}{8}}}.

Passo 6

Integrar a forma padrão \displaystyle \int\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}.
  • Fórmula padrão (explicação curta): para a>0,
\int\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}=\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr|+C.
Isto vem porque a derivada de \ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr) é \dfrac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}} (pode-se verificar por derivação direta).
  • No nosso caso u=t e a^{2}=\tfrac{1}{8} (logo a=\tfrac{1}{2\sqrt{2}}). Assim
\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2}-\tfrac{1}{8}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\bigl|t+\sqrt{t^{2}-\tfrac{1}{8}}\bigr|+C.

Passo 7

Voltar a x e montar a primitiva completa.
  • Substituindo t=\sqrt{2}(x-\tfrac{1}{4}) e lembrando que \sqrt{t^{2}-\tfrac{1}{8}}=\sqrt{2x^{2}-x}, a segunda parcela fica
\frac{23}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\bigl|\sqrt{2}(x-\tfrac{1}{4})+\sqrt{2x^{2}-x}\bigr|.
  • Somando a primeira parcela obtida no Passo 4, a primitiva geral é
\frac{3}{2}\sqrt{2x^{2}-x}+\frac{23}{4\sqrt{2}}\ln\bigl|\sqrt{2}(x-\tfrac{1}{4})+\sqrt{2x^{2}-x}\bigr|+C.

Passo 8

Ajustar a forma do log para igualar a resposta apresentada (diferença absorvida na constante).
  • Note que multiplicando o argumento do log por 2\sqrt{2} obtemos
2\sqrt{2}\bigl(\sqrt{2}(x-\tfrac{1}{4})+\sqrt{2x^{2}-x}\bigr) =4x-1+\sqrt{16x^{2}-8x}.
  • Como \ln\bigl(2\sqrt{2}\cdot(\cdots)\bigr)=\ln(\cdots)+\ln(2\sqrt{2}), o termo extra \dfrac{23}{4\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}) é constante e pode ser absorvido em C.
  • Portanto a primitiva pode ser escrita na forma
\frac{3}{2}\sqrt{2x^{2}-x}+\frac{23}{4\sqrt{2}}\ln\bigl|4x-1+\sqrt{16x^{2}-8x}\bigr|+C,
que é equivalente à expressão anterior, diferindo apenas por constante.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2x^{2}-x}+\frac{23}{4\sqrt{2}}\log\bigl|4x-1+\sqrt{16x^{2}-8x}\bigr|+C

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