1. \int \frac{(x-3) d x}{\sqrt{3+66 x-11 x^{2}}} (resp. \quad-\frac{1}{11} \sqrt{-11 x^{2}+66 x+3}+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(x-3)\,dx}{\sqrt{3+66x-11x^{2}}}.
Informações que temos:
  • O numerador é (x-3).
  • O denominador é a raiz quadrada de um polinômio quadrático -11x^{2}+66x+3 (notei que escrevendo em ordem decrescente fica -11x^{2}+66x+3, que é a mesma expressão).
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Observação chave (motivação da substituição): a derivada do polinômio dentro da raiz costuma aparecer no numerador nessas integrais. Calculo a derivada de
\varphi(x) = -11x^{2}+66x+3.
Derivando:
\varphi'(x) = -22x+66 = -22(x-3).
Ou seja, \varphi'(x) é proporcional a (x-3). Isso indica que a substituição u=\varphi(x) vai simplificar muito a integral, porque (x-3)\,dx se transforma em uma constante vezes du.

Passo 3

Faço a substituição \displaystyle u = -11x^{2}+66x+3. Então
du = (-22x+66)\,dx = -22(x-3)\,dx.
Isolando (x-3)\,dx:
(x-3)\,dx = -\frac{1}{22}\,du.
Substituindo na integral original obtemos
\int \frac{(x-3)\,dx}{\sqrt{3+66x-11x^{2}}} = \int \frac{(x-3)\,dx}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{22}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência para integrar em u. Lembrando que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Portanto
-\frac{1}{22}\int u^{-1/2}\,du = -\frac{1}{22}\cdot 2u^{1/2} + C = -\frac{1}{11}u^{1/2} + C.

Passo 5

Volto à variável original x, lembrando que u = -11x^{2}+66x+3. Substituindo:
-\frac{1}{11}u^{1/2} + C = -\frac{1}{11}\sqrt{-11x^{2}+66x+3}+C.

Resposta

-\dfrac{1}{11}\sqrt{-11x^{2}+66x+3}+C

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