-
(resp.
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações que temos:
- O numerador é
. - O denominador é a raiz quadrada de um polinômio quadrático
(notei que escrevendo em ordem decrescente fica , que é a mesma expressão). - Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração
.
Passo 2
Observação chave (motivação da substituição): a derivada do polinômio dentro da raiz costuma aparecer no numerador nessas integrais. Calculo a derivada de
Derivando:
Ou seja,
é proporcional a
. Isso indica que a substituição
vai simplificar muito a integral, porque
se transforma em uma constante vezes
.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
Isolando
:
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Agora aplico a regra da potência para integrar em
. Lembrando que, para
,
Aqui
, então
Portanto
Passo 5
Volto à variável original
, lembrando que
. Substituindo: