\int_{0}^{\frac{5}{4}} \tan ^{2} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
\int_{0}^{\frac{5}{4}} \tan^{2}x \,\operatorname{sec}^{2}x \,dx.
Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois aparece \operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan x,\quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Com isso, \tan^{2}x \,\operatorname{sec}^{2}x\,dx vira u^{2}\,du.

Passo 3

A integral fica
\int u^{2}\,du,
e sabemos que
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando para x, a antiderivada é \tfrac{\tan^{3}x}{3}. Avaliando de 0 a \tfrac{5}{4}
\left[\frac{\tan^{3}x}{3}\right]_{0}^{\frac{5}{4}} = \frac{\tan^{3}\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)}{3} - \frac{\tan^{3}(0)}{3} = \frac{\tan^{3}\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{3}\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)}{3}

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