Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se \sum\left(u_{k}\right)^{2} convergir, então \sum u_{k} convergirá absolutamente.

Passo 1

O enunciado pergunta se a convergência da série
\sum (u_{k})^{2}
implica que a série \sum u_{k} seja absolutamente convergente, ou seja, se necessariamente
\sum \lvert u_{k}\rvert
converge. Vamos usar o teste da série p-séria para analisar um possível contraexemplo.

Passo 2

Lembre-se que uma série é absolutamente convergente quando
\sum \lvert u_{k}\rvert < \infty.
E o teste da p-séria diz que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Podemos escolher uma sequência cuja série de quadrados converge (isto é, com expoente dos quadrados >1), mas cuja série de termos em valor absoluto diverge (isto é, com expoente \le1).

Passo 3

Considere
u_{k} = \frac{1}{k^{3/4}}.
Então temos
\sum (u_{k})^{2} =\sum \frac{1}{k^{3/2}},
e como 3/2>1, essa série converge por ser uma p-série com p=3/2.
Por outro lado,
\sum \lvert u_{k}\rvert =\sum \frac{1}{k^{3/4}},
e como 3/4<1, essa série diverge segundo o teste da p-séria.

Passo 4

Encontramos, portanto, um exemplo em que \sum(u_{k})^{2} converge, mas \sum \lvert u_{k}\rvert não converge. Logo, a afirmação original é falsa.

Resposta

Falso.

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