Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se
convergir, então
convergirá absolutamente.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a convergência da série
implica que a série
seja absolutamente convergente, ou seja, se necessariamente
converge. Vamos usar o teste da série
-séria para analisar um possível contraexemplo.
Passo 2
Lembre-se que uma série é absolutamente convergente quando
E o teste da
-séria diz que
converge se, e somente se,
. Podemos escolher uma sequência cuja série de quadrados converge (isto é, com expoente dos quadrados
), mas cuja série de termos em valor absoluto diverge (isto é, com expoente
).
Passo 3
Considere
Então temos
e como
, essa série converge por ser uma
-série com
.
Por outro lado,
Por outro lado,
e como
, essa série diverge segundo o teste da
-séria.
Passo 4
Encontramos, portanto, um exemplo em que
converge, mas
não converge. Logo, a afirmação original é falsa.
Resposta
Falso.