\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} d x Passo 1O enunciado pede o valor da integral \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}}\frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}\,dx, que envolve uma função racional em x e uma raiz quadrada de 1+x^{2}. Vamos usar substituição trigonométrica para transformar a raiz em função trigonométrica e obter uma integral mais simples. Passo 2Fazemos a substituição x = \tan\theta, então dx = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta. A integral torna-se \int\frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\int\frac{1}{\tan\theta\;\operatorname{sec}\theta}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\int\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}\,d\theta =\int\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta =\int\csc\theta\,d\theta. Os limites em \theta são \theta_{1}=\arctan\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) e \theta_{2}=\arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr). Passo 3Sabemos que \int\csc\theta\,d\theta =\ln\bigl|\tan\!\tfrac{\theta}{2}\bigr|+C. Portanto, a integral definida vale \Bigl[\ln\bigl|\tan\tfrac{\theta}{2}\bigr|\Bigr]_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} =\ln\!\Bigl(\frac{\tan(\theta_{2}/2)}{\tan(\theta_{1}/2)}\Bigr). Passo 4Usamos a fórmula do semiencontro \tan\!\tfrac{\theta}{2} =\frac{\tan\theta}{1+\sqrt{1+\tan^{2}\theta}} para \tan\theta_{2}=\tfrac{4}{3} e \tan\theta_{1}=\tfrac{3}{4}: \tan\!\tfrac{\theta_{2}}{2} =\frac{\tfrac{4}{3}}{1+\sqrt{1+(\tfrac{4}{3})^{2}}} =\frac{\tfrac{4}{3}}{1+\tfrac{5}{3}} =\frac{1}{2}, \qquad \tan\!\tfrac{\theta_{1}}{2} =\frac{\tfrac{3}{4}}{1+\sqrt{1+(\tfrac{3}{4})^{2}}} =\frac{\tfrac{3}{4}}{1+\tfrac{5}{4}} =\frac{1}{3}. Logo, \frac{\tan(\theta_{2}/2)}{\tan(\theta_{1}/2)} =\frac{\tfrac12}{\tfrac13} =\frac{3}{2}. Resposta \displaystyle \ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados \int_{0}^{\frac{5}{4}} \tan ^{2} x \operatorname{sec} ^{2} x d x Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Se \sum\left(u_{k}\right)^{2} convergir, então \sum u_{k} convergirá absolutamente. \int_{1}^{2}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\sqrt[4]{x}\right) d x Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c. b) f(x, y)=e^{x y}, \quad c=e^{-2}, e^{-1}, 1, e, e^{2}, e^{3}.