\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}}\frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}\,dx,
que envolve uma função racional em x e uma raiz quadrada de 1+x^{2}. Vamos usar substituição trigonométrica para transformar a raiz em função trigonométrica e obter uma integral mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \tan\theta,
então
dx = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta.
A integral torna-se
\int\frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\int\frac{1}{\tan\theta\;\operatorname{sec}\theta}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\int\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}\,d\theta =\int\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta =\int\csc\theta\,d\theta.
Os limites em \theta são \theta_{1}=\arctan\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) e \theta_{2}=\arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 3

Sabemos que
\int\csc\theta\,d\theta =\ln\bigl|\tan\!\tfrac{\theta}{2}\bigr|+C.
Portanto, a integral definida vale
\Bigl[\ln\bigl|\tan\tfrac{\theta}{2}\bigr|\Bigr]_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} =\ln\!\Bigl(\frac{\tan(\theta_{2}/2)}{\tan(\theta_{1}/2)}\Bigr).

Passo 4

Usamos a fórmula do semiencontro
\tan\!\tfrac{\theta}{2} =\frac{\tan\theta}{1+\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}
para \tan\theta_{2}=\tfrac{4}{3} e \tan\theta_{1}=\tfrac{3}{4}:
\tan\!\tfrac{\theta_{2}}{2} =\frac{\tfrac{4}{3}}{1+\sqrt{1+(\tfrac{4}{3})^{2}}} =\frac{\tfrac{4}{3}}{1+\tfrac{5}{3}} =\frac{1}{2}, \qquad \tan\!\tfrac{\theta_{1}}{2} =\frac{\tfrac{3}{4}}{1+\sqrt{1+(\tfrac{3}{4})^{2}}} =\frac{\tfrac{3}{4}}{1+\tfrac{5}{4}} =\frac{1}{3}.
Logo,
\frac{\tan(\theta_{2}/2)}{\tan(\theta_{1}/2)} =\frac{\tfrac12}{\tfrac13} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)

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