Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Mais precisamente, precisamos encontrar
Informações relevantes dadas:
- A integranda é a razão
. - O objetivo é obter uma função
tal que . - Devemos incluir a constante de integração
ao final.
Passo 2
Observação útil (simplificação algébrica): é mais fácil integrar quando a expressão é escrita como soma de termos mais simples. Note que podemos reescrever o numerador adicionando e subtraindo
:
Isto é só uma identidade algébrica: somar e subtrair
dentro do numerador não muda o valor. Agora simplificamos termo a termo.
Passo 3
Fazendo a divisão termo a termo obtemos
Explicando devagar:
, e o restante fica
. Essa forma é muito mais fácil de integrar.
Passo 4
Agora aplicamos a linearidade da integral (podemos integrar termo a termo):
Vou integrar cada termo separadamente, com explicações do porquê.
Passo 5
Primeiro termo:
.
- Lembrete rápido: a derivada de
é , portanto uma primitiva de é .
Logo
onde
é uma constante de integração (vamos combinar as constantes no final).
Passo 6
Segundo termo:
.
- Fato padrão: a derivada de
é . Ou seja,
- Assim, uma primitiva de
é . Ou seja,
Se quiser ver por que isso é verdade, pense em derivar
usando a regra da derivada da função inversa ou a identidade trigonométrica que relaciona seno/cosseno; o resultado é
.
Passo 7
Juntando as duas primitivas e combinando as constantes
numa única constante
, temos
Passo 8
Verificação por derivação (checar que não estamos enganados): calcule a derivada de
:
que é exatamente a integranda original. Confere!