\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Mais precisamente, precisamos encontrar
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é a razão \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}.
  • O objetivo é obter uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}.
  • Devemos incluir a constante de integração C ao final.

Passo 2

Observação útil (simplificação algébrica): é mais fácil integrar quando a expressão é escrita como soma de termos mais simples. Note que podemos reescrever o numerador adicionando e subtraindo 1:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}.
Isto é só uma identidade algébrica: somar e subtrair 1 dentro do numerador não muda o valor. Agora simplificamos termo a termo.

Passo 3

Fazendo a divisão termo a termo obtemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}.
Explicando devagar: \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=1, e o restante fica -\dfrac{1}{x^{2}+1}. Essa forma é muito mais fácil de integrar.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade da integral (podemos integrar termo a termo):
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int\left(1-\frac{1}{x^{2}+1}\right)dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Vou integrar cada termo separadamente, com explicações do porquê.

Passo 5

Primeiro termo: \displaystyle \int 1\,dx.
  • Lembrete rápido: a derivada de x é 1, portanto uma primitiva de 1 é x.
    Logo
\int 1\,dx = x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (vamos combinar as constantes no final).

Passo 6

Segundo termo: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
  • Fato padrão: a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Assim, uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan x. Ou seja,
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C_{2}.
Se quiser ver por que isso é verdade, pense em derivar \arctan x usando a regra da derivada da função inversa ou a identidade trigonométrica que relaciona seno/cosseno; o resultado é \dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 7

Juntando as duas primitivas e combinando as constantes C_{1}-C_{2} numa única constante C, temos
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = x - \arctan x + C.

Passo 8

Verificação por derivação (checar que não estamos enganados): calcule a derivada de x-\arctan x:
\frac{d}{dx}\big(x-\arctan x\big)=1-\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{(1+x^{2})-1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1},
que é exatamente a integranda original. Confere!

Resposta

\;x-\arctan x + C

Exercícios relacionados