\int \frac{x}{2} \operatorname{sen}\left(3 x^{2}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{2}\,\operatorname{sen}\!\left(3x^{2}+2\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x}{2}\,\operatorname{sen}\!\left(3x^{2}+2\right).
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (integração indefinida), portanto devemos acrescentar uma constante de integração C no final.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar): quando a integranda tem uma composição do tipo f(g(x)) multiplicada por algo que é proporcional a g'(x), dá para fazer uma substituição u=g(x) e transformar a integral em uma mais simples em u. Formalmente, se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui também vale a regra do fator constante: constantes podem ser tiradas para fora da integral. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolha da substituição: note que o argumento do seno é 3x^{2}+2. Faz sentido escolher
u = 3x^{2}+2.
Agora calculamos du: derivando em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(3x^{2}+2)\,dx = 6x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{du}{6}.

Passo 4

Reescrevendo a integral usando a substituição. Primeiro extraímos o fator \tfrac{1}{2}:
\int \frac{x}{2}\,\operatorname{sen}\!\left(3x^{2}+2\right)\,dx = \frac{1}{2}\int x\,\operatorname{sen}\!\left(3x^{2}+2\right)\,dx.
Agora substituímos u=3x^{2}+2 e x\,dx=\dfrac{du}{6}. Também trocamos \operatorname{sen}(3x^{2}+2) por \operatorname{sen}(u). Temos:
\frac{1}{2}\int x\,\operatorname{sen}\!\left(3x^{2}+2\right)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{6} = \frac{1}{12}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Integral em u: sabemos que a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\operatorname{cos}(u), porque a derivada de \operatorname{cos}(u) é -\operatorname{sen}(u). Usando a constante fora da integral:
\frac{1}{12}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{12}\bigl(-\operatorname{cos}(u)\bigr) + C = -\frac{1}{12}\operatorname{cos}(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável x (substituição inversa): como u=3x^{2}+2, a primitiva em x é
-\frac{1}{12}\operatorname{cos}\!\left(3x^{2}+2\right) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): diferenciando -\dfrac{1}{12}\cos(3x^{2}+2) em relação a x:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{12}\cos(3x^{2}+2)\right) = -\frac{1}{12}\cdot\bigl(-\sin(3x^{2}+2)\bigr)\cdot 6x = \frac{6x}{12}\sin(3x^{2}+2) = \frac{x}{2}\sin(3x^{2}+2),
que é exatamente a integranda original. Ótimo — está correto.

Resposta

-\frac{1}{12}\operatorname{cos}\!\left(3x^{2}+2\right)+C

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