Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Queremos uma primitiva (integração indefinida), portanto devemos acrescentar uma constante de integração
no final.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar): quando a integranda tem uma composição do tipo
multiplicada por algo que é proporcional a
, dá para fazer uma substituição
e transformar a integral em uma mais simples em
. Formalmente, se
e
, então
Aqui também vale a regra do fator constante: constantes podem ser tiradas para fora da integral. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolha da substituição: note que o argumento do seno é
. Faz sentido escolher
Agora calculamos
: derivando em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Reescrevendo a integral usando a substituição. Primeiro extraímos o fator
:
Agora substituímos
e
. Também trocamos
por
. Temos:
Passo 5
Integral em
: sabemos que a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Usando a constante fora da integral:
Passo 6
Voltando à variável
(substituição inversa): como
, a primitiva em
é
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): diferenciando
em relação a
:
que é exatamente a integranda original. Ótimo — está correto.