Passo 1
O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
ou seja, calcular
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação sobre o domínio (importante para a substituição que usaremos): a condição
é equivalente a
Portanto a integral faz sentido real para
. A primitiva será dada em forma que respeite esse domínio.
Passo 2
Faço uma simplificação algébrica do integrando antes de escolher substituições. Primeiro fatoro o denominador:
Agora a raiz:
Expliquei:
e
. Como dito no Passo 1, trabalhamos com
para a raiz ser real. Assim a integral vira
Passo 3
Escolha do método: aqui a forma
sugere a clássica substituição trigonométrica
(ou para o caso
usamos
). Essa substituição simplifica
em termos de
, e cancelamentos acontecerão. Vou tratar os dois ramos do domínio
separadamente (porque o valor de
e o sinal de
importam), e depois unifico a primitiva em uma única expressão válida para
.
Passo 4
Caso 1:
.
Faço
com
tal que
(por exemplo
ou equivalentes). Então:
Substituindo no integrando:
Logo a integral é imediata:
Voltando à variável
, para
temos
. Portanto, para
,
Passo 5
Caso 2:
.
Faço
com
(assim
e
). Então
Substituindo:
Portanto
Agora
(pois
quando
). Assim, para
,
Passo 6
Unificação das duas formas obtidas.
Para
obtivemos
.
Para obtivemos
.
Para
Podemos escrever ambas de modo compact o usando
(função sinal) e
: observe que para
temos
e
, enquanto para
temos
e
. Assim uma primitiva válida para
é
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (checar que a primitiva encontrada é correta).
Derivando
para
e
:
Usando a cadeia:
(valendo para
), obtemos
que é exatamente o integrando obtido no Passo 2. Portanto a primitiva está correta.