\int \sqrt{\frac{4 a^{2}}{x^{4}-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
\sqrt{\frac{4a^{2}}{x^{4}-x^{2}}}\,,
ou seja, calcular
\int \sqrt{\frac{4a^{2}}{x^{4}-x^{2}}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{a) }a\text{ é uma constante (pode ser positiva ou negativa).}é
\text{b) O integrando envolve raiz quadrada, então precisamos considerar onde ela é real: }x^{4}-x^{2}>0.ãé
Observação sobre o domínio (importante para a substituição que usaremos): a condição x^{4}-x^{2}>0 é equivalente a
x^{2}(x^{2}-1)>0\quad\Rightarrow\quad |x|>1.
Portanto a integral faz sentido real para |x|>1. A primitiva será dada em forma que respeite esse domínio.

Passo 2

Faço uma simplificação algébrica do integrando antes de escolher substituições. Primeiro fatoro o denominador:
x^{4}-x^{2}=x^{2}(x^{2}-1).
Agora a raiz:
\sqrt{\frac{4a^{2}}{x^{4}-x^{2}}}=\frac{\sqrt{4a^{2}}}{\sqrt{x^{2}(x^{2}-1)}}=\frac{2|a|}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}.
Expliquei: \sqrt{4a^{2}}=2|a| e \sqrt{x^{2}}=|x|. Como dito no Passo 1, trabalhamos com |x|>1 para a raiz ser real. Assim a integral vira
\int \frac{2|a|}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.

Passo 3

Escolha do método: aqui a forma \sqrt{x^{2}-1} sugere a clássica substituição trigonométrica x=\operatorname{sec} t (ou para o caso x<-1 usamos x=-\operatorname{sec} t). Essa substituição simplifica \sqrt{x^{2}-1} em termos de \tan t, e cancelamentos acontecerão. Vou tratar os dois ramos do domínio |x|>1 separadamente (porque o valor de |x| e o sinal de x importam), e depois unifico a primitiva em uma única expressão válida para |x|>1.

Passo 4

Caso 1: x>1.
Faço x=\operatorname{sec} t com t tal que \operatorname{sec} t>1 (por exemplo t\in(0,\frac{\pi}{2}) ou equivalentes). Então:
dx=\operatorname{sec} t\tan t\,dt,\qquad \sqrt{x^{2}-1}=\tan t,\qquad |x|=x=\operatorname{sec} t.
Substituindo no integrando:
\frac{2|a|}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}\,dx =\frac{2|a|}{\operatorname{sec} t\cdot \tan t}\cdot (\operatorname{sec} t\tan t\,dt) =2|a|\,dt.
Logo a integral é imediata:
\int 2|a|\,dt=2|a|\,t+C.
Voltando à variável x, para x>1 temos t=\arcsec x. Portanto, para x>1,
\text{primitiva }=2|a|\,\arcsec x + C.

Passo 5

Caso 2: x<-1.
Faço x=-\operatorname{sec} t com t\in(0,\frac{\pi}{2}) (assim |x|=\operatorname{sec} t e \sqrt{x^{2}-1}=\tan t). Então
dx=-\operatorname{sec} t\tan t\,dt,\qquad |x|=\operatorname{sec} t,\qquad \sqrt{x^{2}-1}=\tan t.
Substituindo:
\frac{2|a|}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}\,dx =\frac{2|a|}{\operatorname{sec} t\cdot \tan t}\cdot(-\operatorname{sec} t\tan t\,dt) =-2|a|\,dt.
Portanto
\int \frac{2|a|}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \int -2|a|\,dt = -2|a|\,t + C.
Agora t=\arcsec(|x|)=\arcsec(-x) (pois |x|=-x quando x<0). Assim, para x<-1,
\text{primitiva }=-2|a|\,\arcsec(-x) + C.

Passo 6

Unificação das duas formas obtidas.
Para x>1 obtivemos 2|a|\,\arcsec x.
Para x<-1 obtivemos -2|a|\,\arcsec(-x).
Podemos escrever ambas de modo compact o usando \operatorname{sgn}(x) (função sinal) e |x|: observe que para x>1 temos \operatorname{sgn}(x)=1 e \arcsec(|x|)=\arcsec(x), enquanto para x<-1 temos \operatorname{sgn}(x)=-1 e \arcsec(|x|)=\arcsec(-x). Assim uma primitiva válida para |x|>1 é
2|a|\,\operatorname{sgn}(x)\,\arcsec(|x|) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (checar que a primitiva encontrada é correta).
Derivando F(x)=2|a|\,\operatorname{sgn}(x)\,\arcsec(|x|) para x\neq0 e |x|>1:
F'(x)=2|a|\,\operatorname{sgn}(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\arcsec(|x|)\big).
Usando a cadeia: \dfrac{d}{dx}\arcsec(|x|)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} (valendo para |x|>1), obtemos
F'(x)=2|a|\,\operatorname{sgn}(x)\cdot\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2|a|}{|x|\sqrt{x^{2}-1}},
que é exatamente o integrando obtido no Passo 2. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

2|a|\,\operatorname{sgn}(x)\,\arcsec(|x|)+C

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