\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}} d x=\frac{1}{2} \ln 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Este é um caso clássico de integral de função racional em que o numerador é proporcional à derivada do denominador. Vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x^{2},
de modo que
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também trocamos os limites: quando x=0, u=1; quando x=1, u=2.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(\ln 2 - \ln 1\bigr) = \frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2

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