16.26 A molécula de DNA dos seres humanos tem em média 5 \times 10^{8} binucleotídeos (os degraus da estrutura escalonada do DNA) de quatro tipos diferentes. Se cada degrau fosse escolhido ao acaso entre esses quatro tipos distintos, qual seria a entropia residual associada a uma molécula de DNA?

Passo 1

O enunciado fala de entropia residual de uma molécula de DNA com em média 5\times10^{8} “degraus” (binucleotídeos), cada um podendo ser de quatro tipos distintos, todos igualmente prováveis. O conteúdo necessário é a estatística de Boltzmann para entropia
S = k \ln \Omega
onde k é a constante de Boltzmann e \Omega é o número de microestados.

Passo 2

Cada binucleotídeo tem 4 escolhas independentes, logo o número total de sequências possíveis é
\Omega = 4^{\,5\times10^{8}}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Boltzmann:
S = k \ln \Omega = k \ln\bigl(4^{\,5\times10^{8}}\bigr).
Usamos a propriedade dos logaritmos:
\ln\bigl(4^{\,5\times10^{8}}\bigr) = 5\times10^{8}\,\ln 4.

Passo 4

Substituindo valores numéricos:
k = 1,38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}, \quad \ln 4 = 2\ln2 \approx 1,386.
Então
S = 1,38\times10^{-23}\times5\times10^{8}\times1,386\;\mathrm{J/K}.

Passo 5

Fazendo as contas:
1,38\times1,386 \approx 1,91, \quad 1,91\times5 = 9,55,
e o fator de 10^{-23}\times10^{8}=10^{-15}. Portanto
S \approx 9,55\times10^{-15}\;\mathrm{J/K}.

Resposta

A entropia residual aproximada de uma molécula de DNA é
S \approx 9{,}6\times10^{-15}\;\mathrm{J/K}.

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