1. \int\left(x^{2}-4 x+4\right)^{4 / 3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \bigl(x^{2}-4x+4\bigr)^{4/3}\,dx
O conteúdo principal é integração de potências fracionárias e vamos usar substituição para simplificar o binômio ao quadrado.

Passo 2

Note que
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
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\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)^{4/3}=\bigl((x-2)^{2}\bigr)^{4/3}=|x-2|^{8/3}.
Precisamos cuidar do valor absoluto ao integrar.

Passo 3

Fazendo a troca de variável
u = x-2,\quad du = dx, a integral vira \int |u|^{8/3}\,du. Dividimos em dois casos: Caso 1: u\ge0 (i.e.\ x\ge2) \int u^{8/3}\,du =\frac{u^{11/3}}{11/3} =\frac{3}{11}\,u^{11/3}+C_{1}.
Caso 2: u<0 (i.e.\ x<2)
Aqui |u|=-u, então
\int |u|^{8/3}\,du =\int(-u)^{8/3}\,du =\int(-1)^{8/3}u^{8/3}\,du =\int u^{8/3}\,du =\frac{3}{11}\,u^{11/3}+C_{2}.
(Observação: (-1)^{8/3}=1 porque 8/3 tem numerador par.)

Passo 4

Podemos unificar as duas expressões num único resultado usando valor absoluto de forma inteligente. Voltando a u=x-2, a primitiva geral é
F(x) =\frac{3}{11}\,(x-2)\,\bigl|x-2\bigr|^{8/3}+C.
De fato, derivando esse F(x) recuperamos |x-2|^{8/3}.

Resposta

\boxed{\,\int\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)^{4/3}\,dx =\frac{3}{11}\,(x-2)\,\bigl|x-2\bigr|^{8/3}+C\,}.

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