\int\left(x^{2}-4 x+4\right)^{4 / 3} d x Passo 1O enunciado pede para calcular a primitiva \int \bigl(x^{2}-4x+4\bigr)^{4/3}\,dx O conteúdo principal é integração de potências fracionárias e vamos usar substituição para simplificar o binômio ao quadrado. Passo 2Note que x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}, logo \bigl(x^{2}-4x+4\bigr)^{4/3}=\bigl((x-2)^{2}\bigr)^{4/3}=|x-2|^{8/3}. Precisamos cuidar do valor absoluto ao integrar. Passo 3Fazendo a troca de variável u = x-2,\quad du = dx, a integral vira \int |u|^{8/3}\,du. Dividimos em dois casos: Caso 1: u\ge0 (i.e.\ x\ge2) \int u^{8/3}\,du =\frac{u^{11/3}}{11/3} =\frac{3}{11}\,u^{11/3}+C_{1}. Caso 2: u<0 (i.e.\ x<2) Aqui |u|=-u, então \int |u|^{8/3}\,du =\int(-u)^{8/3}\,du =\int(-1)^{8/3}u^{8/3}\,du =\int u^{8/3}\,du =\frac{3}{11}\,u^{11/3}+C_{2}. (Observação: (-1)^{8/3}=1 porque 8/3 tem numerador par.) Passo 4Podemos unificar as duas expressões num único resultado usando valor absoluto de forma inteligente. Voltando a u=x-2, a primitiva geral é F(x) =\frac{3}{11}\,(x-2)\,\bigl|x-2\bigr|^{8/3}+C. De fato, derivando esse F(x) recuperamos |x-2|^{8/3}. Resposta \boxed{\,\int\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)^{4/3}\,dx =\frac{3}{11}\,(x-2)\,\bigl|x-2\bigr|^{8/3}+C\,}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados \int\left(4 \operatorname{cosec} x \operatorname{cotg} x+2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x Encontre uma expressão cartesiana e esboce as superfícies dadas por : \sigma(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), u \geq 0, v>0 e u+v \leq 1. \int\left(x^{2}-4 x+4\right)^{4 / 3} d x \int \frac{x^{3} d x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}