\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{4}}}. Resposta. \frac{1}{2} \operatorname{arcsen} x^{2}+ C. Sugestão. Faça u=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1 - x^{4}}}
Esse é um problema de cálculo de integrais que sugere usar substituição (u-substitution), pois vemos x\,dx e uma expressão em x^{4} dentro de uma raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também temos
\sqrt{1 - x^{4}} = \sqrt{1 - (x^{2})^{2}} = \sqrt{1 - u^{2}}.
Assim a integral original vira
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} = \int \frac{\frac{du}{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \frac{1}{2}\,\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \arcsin(u) + C.
Portanto
\frac{1}{2}\,\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \frac{1}{2}\,\arcsin(u) + C.
Voltando à variável x, temos u = x^{2}, então
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} = \frac{1}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) + C

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