Questão 3 Exiba uma parametrização para a superfície S obtida girando-se a curva C, no plano x y, em torno do eixo y, onde C tem equações paramétricas
x=x(t), y=y(t), a \leq t \leq b \text { e } x(t) \geq 0 \text { para todo } t \in[a, b]

Passo 1

O enunciado pede a parametrização de uma superfície S obtida ao girar uma curva C no plano xy em torno do eixo y. O conteúdo aqui é superfície de revolução: vamos usar a parametrização da curva original e introduzir um segundo parâmetro angular \theta para captar a rotação ao redor do eixo y.

Passo 2

Cada ponto de C tem coordenadas em \mathbb{R}^3 dadas por (x(t),y(t),0). Ao girar esse ponto por um ângulo \theta em torno do eixo y, a coordenada y fica y(t) e a projeção no plano xz descreve um círculo de raio x(t). Logo,
x = x(t)\cos\theta,\quad z = x(t)\sin\theta.
Assim o mapeamento de (t,\theta) em \mathbb{R}^3 é
\mathbf{r}(t,\theta) = \bigl(x(t)\cos\theta,\;y(t),\;x(t)\sin\theta\bigr).

Passo 3

O parâmetro t segue o intervalo original da curva, a\le t\le b, e o parâmetro de rotação \theta varia de 0 a 2\pi, cobrindo toda a volta em torno do eixo y.

Resposta

\mathbf{r}(t,\theta) = \bigl(x(t)\cos\theta,\;y(t),\;x(t)\sin\theta\bigr),
com a \le t \le b e 0 \le \theta \le 2\pi.

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