\int \frac{x^{3}+\sqrt{x}}{x^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x^{3}+\sqrt{x}}{x^{2}}\,dx.\n
Informações dadas e observações úteis: a função dentro da integral é \dfrac{x^{3}+\sqrt{x}}{x^{2}}. Note que há uma raiz \sqrt{x} e um denominador x^{2}, portanto a expressão só faz sentido para x>0 (vamos assumir x>0 ao trabalhar com \sqrt{x} e potências fracionárias). O objetivo final é encontrar uma primitiva (antiderivada) e acrescentar a constante de integração \,C.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dividindo cada termo por x^{2}. Para isso é útil reescrever \sqrt{x} como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Usamos a regra de potências para divisão:
\text{se }x^a \text{ e } x^b \text{ então } \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}.ã
Aplicando às duas parcelas:
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x^{3-2}=x^{1}=x,
\frac{x^{1/2}}{x^{2}}=x^{1/2-2}=x^{-3/2}.
Portanto a integral fica
\int \frac{x^{3}+\sqrt{x}}{x^{2}}\,dx=\int\bigl(x + x^{-3/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora vamos integrar termo a termo. Usamos duas propriedades básicas:
  1. Linearidade da integral: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx.
  2. Regra da potência para integrais: para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Expliquei isso porque é a ferramenta principal aqui — ela diz que, para qualquer potência x^{n}, a primitiva é x^{n+1}/(n+1). Agora aplicamos:
Para o primeiro termo, x = x^{1}. Tomando n=1:
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
Para o segundo termo, x^{-3/2}. Tomando n=-\tfrac{3}{2}:
\int x^{-3/2}\,dx=\frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}=\frac{x^{-1/2}}{-1/2}.
Calculemos o denominador -\tfrac{1}{2}: dividir por -\tfrac{1}{2} é multiplicar por -2. Então
\frac{x^{-1/2}}{-1/2}=-2x^{-1/2}.

Passo 4

Juntando as primitivas dos dois termos, a primitiva geral é
\frac{x^{2}}{2}-2x^{-1/2}+C.
É bom reescrever x^{-1/2} como \dfrac{1}{\sqrt{x}} para ficar mais familiar:
\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}+C.

Passo 5

Verificação rápida (sempre recomendo fazer na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}-2x^{-1/2}\right)=x + (-2)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}=x+x^{-3/2},
que é exatamente o integrando simplificado \,x + x^{-3/2}, logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}+C

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