Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas e observações úteis: a função dentro da integral é . Note que há uma raiz
e um denominador
, portanto a expressão só faz sentido para
(vamos assumir
ao trabalhar com
e potências fracionárias). O objetivo final é encontrar uma primitiva (antiderivada) e acrescentar a constante de integração
.
Informações dadas e observações úteis: a função dentro da integral é
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dividindo cada termo por
. Para isso é útil reescrever
como potência:
. Usamos a regra de potências para divisão:
Aplicando às duas parcelas:
Portanto a integral fica
Passo 3
Agora vamos integrar termo a termo. Usamos duas propriedades básicas:
- Linearidade da integral:
- Regra da potência para integrais: para
,
Expliquei isso porque é a ferramenta principal aqui — ela diz que, para qualquer potência
, a primitiva é
. Agora aplicamos:
Para o primeiro termo,
. Tomando
:
Para o segundo termo,
. Tomando
:
Calculemos o denominador
: dividir por
é multiplicar por
. Então
Passo 4
Juntando as primitivas dos dois termos, a primitiva geral é
É bom reescrever
como
para ficar mais familiar:
Passo 5
Verificação rápida (sempre recomendo fazer na prova): derivando a resposta obtemos
que é exatamente o integrando simplificado
, logo a primitiva está correta.