\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x}} d x

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x}}\,dx.
Informações dadas e observações relevantes:
  • A expressão sob a raiz é x^{2}-2x.
  • A integral é indefinida; a resposta virá com uma constante de integração C.
  • Observação sobre domínio (importante para a raiz): a expressão dentro da raiz deve ser positiva para a função original estar bem definida. Como
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,
temos (x-1)^{2}>1, isto é, x>2 ou x<0. (Podemos integrar formalmente em qualquer intervalo onde a função esteja definida.)

Passo 2

Simplificar a expressão dentro da raiz por completar o quadrado para ver padrão útil:
x^{2}-2x = x^{2}-2x+1-1 = (x-1)^{2}-1.
Explicação rápida do porquê: completar o quadrado consiste em transformar x^{2}-2x em (x-a)^{2}+b escolhendo a para eliminar o termo linear; aqui a=1.

Passo 3

Fazer uma substituição simples que torne a integral mais clara. Defina
u = x-1.
Então
du = dx,
e a raiz fica \sqrt{(x-1)^{2}-1}=\sqrt{u^{2}-1}. O numerador x-1 vira u. Portanto a integral em termos de u é
\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}}\,du.
Comentário didático: a ideia é transformar a expressão em algo cujo diferencial aparece no numerador — isso costuma simplificar muito integrais com raízes.

Passo 4

Reconhecer que a função \sqrt{u^{2}-1} tem derivada igual ao integrando. Vamos derivar para ver:
usar a regra da cadeia. Seja g(u)=\sqrt{u^{2}-1}=(u^{2}-1)^{1/2}. Então
g'(u)=\frac{1}{2}(u^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2u = \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}}.
Portanto o integrando é exatamente g'(u). Isso significa que
\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}}\,du = \sqrt{u^{2}-1}+C.
Explicação da técnica: quando você vê \dfrac{u}{\sqrt{u^{2}-1}}, tente verificar se é a derivada de \sqrt{u^{2}-1} (ou de alguma função do tipo (u^{2}-a)^{1/2}). Fazer essa verificação com a regra da cadeia é rápido e evita integrações longas.

Passo 5

Voltar à variável original x. Lembre-se que u=x-1, então
\sqrt{u^{2}-1}=\sqrt{(x-1)^{2}-1}=\sqrt{x^{2}-2x}.
Assim a primitiva encontrada é
\sqrt{x^{2}-2x}+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando este resultado obtemos
\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}-2x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-2x}}\cdot(2x-2) = \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x}},
que é exatamente o integrando; a conta confirma que a primitiva está correta.

Passo 6

Resumo final e incentivo: a chave aqui foi completar o quadrado para notar a forma (x-1)^{2}-1, fazer a substituição u=x-1 e reconhecer a derivada direta de \sqrt{u^{2}-1}. Você conseguiu transformar a integral num passo simples — isso é comum em provas: enxergar o padrão salva tempo. Força aí, vamos em frente!

Resposta

\sqrt{x^{2}-2x}+C

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