Passo 1
O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações relevantes:
- A expressão sob a raiz é
. - A integral é indefinida; a resposta virá com uma constante de integração
. - Observação sobre domínio (importante para a raiz): a expressão dentro da raiz deve ser positiva para a função original estar bem definida. Como
temos
, isto é,
ou
. (Podemos integrar formalmente em qualquer intervalo onde a função esteja definida.)
Passo 2
Simplificar a expressão dentro da raiz por completar o quadrado para ver padrão útil:
Explicação rápida do porquê: completar o quadrado consiste em transformar
em
escolhendo
para eliminar o termo linear; aqui
.
Passo 3
Fazer uma substituição simples que torne a integral mais clara. Defina
Então
e a raiz fica
. O numerador
vira
. Portanto a integral em termos de
é
Comentário didático: a ideia é transformar a expressão em algo cujo diferencial aparece no numerador — isso costuma simplificar muito integrais com raízes.
Passo 4
Reconhecer que a função
tem derivada igual ao integrando. Vamos derivar para ver:
usar a regra da cadeia. Seja . Então
usar a regra da cadeia. Seja
Portanto o integrando é exatamente
. Isso significa que
Explicação da técnica: quando você vê
, tente verificar se é a derivada de
(ou de alguma função do tipo
). Fazer essa verificação com a regra da cadeia é rápido e evita integrações longas.
Passo 5
Voltar à variável original
. Lembre-se que
, então
Assim a primitiva encontrada é
Verificação rápida (útil na prova): derivando este resultado obtemos
que é exatamente o integrando; a conta confirma que a primitiva está correta.
Passo 6
Resumo final e incentivo: a chave aqui foi completar o quadrado para notar a forma
, fazer a substituição
e reconhecer a derivada direta de
. Você conseguiu transformar a integral num passo simples — isso é comum em provas: enxergar o padrão salva tempo. Força aí, vamos em frente!