Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar: os três termos da soma no integrando são
,
e
. A integral é indefinida (resultado com constante de integração).
Passo 2
Primeira organização útil: reescrever cada termo como potência de
. Isso facilita aplicar a regra da potência para integrais. Reescrevemos:
Passo 3
Explicação didática das transformações:
- Para
usamos a regra . Aqui o expoente fica . - Para
lembramos que , então .
Essas formas em potências permitem aplicar a mesma fórmula de integração a cada termo.
Passo 4
Regra que vamos usar (linearidade + regra da potência):
- Linearidade: a integral de soma é soma das integrais e constantes saem da integral:
- Regra da potência para integrais: para
,
Aqui
é o expoente de
e
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicamos a linearidade e a regra da potência termo a termo:
Passo 6
Integral do primeiro termo
:
usar na regra da potência:
usar
Expliquei: somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente.
Passo 7
Integral do segundo termo
:
usar :
usar
Agora simplificamos
, que, escrito sem potências negativas, é
.
Passo 8
Integral do terceiro termo
:
pela linearidade, fatoramos a constante :
pela linearidade, fatoramos a constante
Agora usar
:
. Então
Multiplicando pelo
que estava fora:
Reescrevendo
como
, obtemos
.
Passo 9
Juntando os resultados dos três termos:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Verificação rápida (diferenciação) para ganhar confiança:
-
. -
. -
.
Somando: recuperamos exatamente o integrando original. Ótimo sinal de que está correto.