1. \int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
Informações dadas que vamos usar: os três termos da soma no integrando são x^{2}, \dfrac{1}{x^{3}} e \dfrac{2}{\sqrt{x}}. A integral é indefinida (resultado com constante de integração).

Passo 2

Primeira organização útil: reescrever cada termo como potência de x. Isso facilita aplicar a regra da potência para integrais. Reescrevemos:
x^{2} \quad,\quad \frac{1}{x^{3}} = x^{-3} \quad,\quad \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2}.

Passo 3

Explicação didática das transformações:
  • Para \dfrac{1}{x^{3}} usamos a regra 1/x^{3}=x^{-3}. Aqui o expoente fica -3.
  • Para \dfrac{2}{\sqrt{x}} lembramos que \sqrt{x}=x^{1/2}, então \dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}.
    Essas formas em potências permitem aplicar a mesma fórmula de integração a cada termo.

Passo 4

Regra que vamos usar (linearidade + regra da potência):
  • Linearidade: a integral de soma é soma das integrais e constantes saem da integral:
\int (f+g+h)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx + \int h\,dx,
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
  • Regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente de x e C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a linearidade e a regra da potência termo a termo:
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int x^{-3}\,dx + \int 2x^{-1/2}\,dx.

Passo 6

Integral do primeiro termo \int x^{2}\,dx:
usar n=2 na regra da potência:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
Expliquei: somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente.

Passo 7

Integral do segundo termo \int x^{-3}\,dx:
usar n=-3:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2}.
Agora simplificamos \dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2}x^{-2}, que, escrito sem potências negativas, é -\dfrac{1}{2x^{2}}.

Passo 8

Integral do terceiro termo \int 2x^{-1/2}\,dx:
pela linearidade, fatoramos a constante 2:
2\int x^{-1/2}\,dx.
Agora usar n=-\tfrac{1}{2}: n+1 = -\tfrac{1}{2}+1 = \tfrac{1}{2}. Então
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2}.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
2\cdot 2x^{1/2} = 4x^{1/2}.
Reescrevendo x^{1/2} como \sqrt{x}, obtemos 4\sqrt{x}.

Passo 9

Juntando os resultados dos três termos:
\int\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2x^{2}} + 4\sqrt{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 10

Verificação rápida (diferenciação) para ganhar confiança:
  • \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right) = x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{2x^{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3} = x^{-3} = \dfrac{1}{x^{3}}.
  • \dfrac{d}{dx}\left(4\sqrt{x}\right) = 4\cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}.
    Somando: recuperamos exatamente o integrando original. Ótimo sinal de que está correto.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{2x^{2}}+4\sqrt{x}+C

Exercícios relacionados