Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é a racional
. - A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) desta função, isto é, uma expressão cujo diferencial é a função dada, adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que):
- A função é uma fração racional (polinômio dividido por polinômio). Um método padrão é decompor em frações parciais e integrar termo a termo.
- Primeiro verifico se a fração é própria: o grau do numerador (
) é menor que o do denominador ( ), então é própria. Logo não preciso fazer divisão polinomial antes da decomposição. - O denominador é
, um fator linear repetido de multiplicidade . Para esse caso a forma de decomposição é conhecida: somatório de termos da forma .
Passo 3
Escrevo a decomposição em frações parciais:
Agora vou determinar os coeficientes
,
e
.
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Desenvolvo o lado direito. Primeiro
, então
Somando os outros termos:
Agrupando coeficientes por potências de
:
Passo 5
Agora igualo coeficientes do polinômio à esquerda
com os do polinômio obtido:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Substituo
nas duas últimas equações:
Portanto
,
e
.
Passo 6
Reescrevo a integranda usando os coeficientes encontrados:
Assim a integral original se torna soma de integrais mais simples:
Passo 7
Integro termo a termo, recordando regras básicas:
- Para
usa-se que . Com obtemos
- Para potências
com vale . Usando isso:
(Se preferir, pode ver estes dois últimos com a substituição
e integrar potências de
.)
Passo 8
Somando os resultados obtidos e incluindo a constante de integração
:
Esta é a família de primitivas procurada. Boa! Se estiver na prova, lembrar de decompor e integrar termo a termo — dá menos trabalho do que parece.