\int \frac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é a racional \dfrac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}}.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) desta função, isto é, uma expressão cujo diferencial é a função dada, adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que):
  • A função é uma fração racional (polinômio dividido por polinômio). Um método padrão é decompor em frações parciais e integrar termo a termo.
  • Primeiro verifico se a fração é própria: o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), então é própria. Logo não preciso fazer divisão polinomial antes da decomposição.
  • O denominador é (x-1)^{3}, um fator linear repetido de multiplicidade 3. Para esse caso a forma de decomposição é conhecida: somatório de termos da forma \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}+\dfrac{C}{(x-1)^{3}}.

Passo 3

Escrevo a decomposição em frações parciais:
\frac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}.
Agora vou determinar os coeficientes A, B e C.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por (x-1)^{3} para eliminar denominadores:
x^{2}+x+4 = A(x-1)^{2}+B(x-1)+C.
Desenvolvo o lado direito. Primeiro (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1, então
A(x-1)^{2}=A x^{2}-2A x + A.
Somando os outros termos:
A x^{2}-2A x + A + B x - B + C.
Agrupando coeficientes por potências de x:
A x^{2} + (-2A + B)x + (A - B + C).

Passo 5

Agora igualo coeficientes do polinômio à esquerda x^{2}+x+4 com os do polinômio obtido:
  • Coeficiente de x^{2}: A = 1.
  • Coeficiente de x: -2A + B = 1.
  • Termo constante: A - B + C = 4.
Substituo A=1 nas duas últimas equações:
-2(1)+B=1 \quad\Rightarrow\quad B=3.
1-3+C=4 \quad\Rightarrow\quad C=6.
Portanto A=1, B=3 e C=6.

Passo 6

Reescrevo a integranda usando os coeficientes encontrados:
\frac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}.
Assim a integral original se torna soma de integrais mais simples:
\int \frac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx + 3\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx + 6\int \frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx.

Passo 7

Integro termo a termo, recordando regras básicas:
  • Para \int \dfrac{1}{x-1}\,dx usa-se que \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln\lvert u\rvert. Com u=x-1 obtemos
\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert.
  • Para potências (x-1)^{n} com n\neq -1 vale \int (x-1)^{n}\,dx=\dfrac{(x-1)^{n+1}}{n+1}. Usando isso:
3\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx =3\int (x-1)^{-2}\,dx =3\cdot\frac{(x-1)^{-1}}{-1} =-\frac{3}{x-1}.
6\int \frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx =6\int (x-1)^{-3}\,dx =6\cdot\frac{(x-1)^{-2}}{-2} =-3\,(x-1)^{-2} =-\frac{3}{(x-1)^{2}}.
(Se preferir, pode ver estes dois últimos com a substituição u=x-1 e integrar potências de u.)

Passo 8

Somando os resultados obtidos e incluindo a constante de integração C:
\int \frac{x^{2}+x+4}{(x-1)^{3}}\,dx =\ln\lvert x-1\rvert -\frac{3}{x-1} -\frac{3}{(x-1)^{2}}+C.
Esta é a família de primitivas procurada. Boa! Se estiver na prova, lembrar de decompor e integrar termo a termo — dá menos trabalho do que parece.

Resposta

\ln\lvert x-1\rvert-\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{3}{(x-1)^{2}}+C

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