Dado que
a)
b)
c)
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique o porquê.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique o porquê.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá três limites quando
(estas informações vêm do próprio enunciado):
O que nos pedem (três itens separados):
a) .
b) .
c) .
a)
b)
c)
Passo 2
Regra útil 1 — soma e múltiplo por constante:
Se e
existem (são finitos), então
Se
e, para qualquer constante real
,
Isto é intuitivo: o limite preserva adição e multiplicação por constantes. Vamos usar isso no item (a).
Passo 3
Aplicando a regra do Passo 2 ao item (a). Temos
e
. Então
Calcule:
, logo
. Portanto o limite existe e vale
.
Passo 4
Regra útil 2 — composição com função contínua:
Se e
é contínua em
, então
Se
A raiz quadrada principal
é contínua em qualquer ponto
. Há, porém, uma observação prática: para que
esteja bem definida (números reais) numa vizinhança de
, precisamos que
seja não negativa perto de
. Se
, então existe uma vizinhança de
em que
(argumento simples: escolha
, então para
próximo de
tem
, o que implica
). Assim
está bem definida perto de
e podemos usar a continuidade da raiz.
Passo 5
Aplicando a regra do Passo 4 ao item (b). Como
e
é contínua em
,
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Regra útil 3 — limite de quociente:
Se e
existem e
, então
Se
Importante: essa regra exige
. Se
a regra não se aplica e o limite pode não existir — pode divergir para
ou não ter limite mesmo assim, dependendo do comportamento de
e do sinal. Vamos ver o caso (c).
Passo 7
Analisando (c): sabemos
(um número finito e diferente de zero) e
. Como o limite do denominador é
, não podemos usar a regra do Passo 6 para obter um quociente finito. Vamos mostrar que não pode existir um limite finito da forma
:
Suponha, por contradição, que exista um número finito
tal que
Multiplicando ambos os lados pelo limite de
(que é
) e usando propriedades de limites (quando tudo existe), obteríamos
Isso contradiz a informação dada de que
. Logo a suposição de que existe um limite finito leva a contradição; portanto não existe limite finito.
Passo 8
Poderia o quociente divergir para
ou
? Se quiséssemos dizer que o limite é
ou
, precisaríamos de informação sobre o sinal e a forma como
se aproxima de
(por exemplo se
tende a
ou
e se isso ocorre de forma consistente pela esquerda e direita). Como o enunciado não diz nada sobre o sinal de
nem sobre oscilações próximas a
, não há como afirmar que o quociente tende para
ou para
. Assim, no sentido de limite finito (e também no sentido de limite infinito sem informação adicional), concluímos que o limite não existe.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)