Dado que
a) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4
b) \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2
c) \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique o porquê.
a) \lim _{x \rightarrow 2}[f(x)+5 g(x)]
b) \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{f(x)}
c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}

Passo 1

O enunciado dá três limites quando x \to 2 (estas informações vêm do próprio enunciado):
  • \displaystyle \lim_{x\to2} f(x)=4.
  • \displaystyle \lim_{x\to2} g(x)=-2.
  • \displaystyle \lim_{x\to2} h(x)=0.
O que nos pedem (três itens separados):
a) \displaystyle \lim_{x\to2}\bigl[f(x)+5\,g(x)\bigr].
b) \displaystyle \lim_{x\to2} \sqrt{f(x)}.
c) \displaystyle \lim_{x\to2} \frac{g(x)}{h(x)}.

Passo 2

Regra útil 1 — soma e múltiplo por constante:
Se \displaystyle \lim_{x\to a} A(x)=L_A e \displaystyle \lim_{x\to a} B(x)=L_B existem (são finitos), então
\lim_{x\to a}\bigl(A(x)+B(x)\bigr)=L_A+L_B
e, para qualquer constante real c,
\lim_{x\to a} \bigl(c\cdot A(x)\bigr)=c\cdot L_A.
Isto é intuitivo: o limite preserva adição e multiplicação por constantes. Vamos usar isso no item (a).

Passo 3

Aplicando a regra do Passo 2 ao item (a). Temos \displaystyle \lim_{x\to2} f(x)=4 e \displaystyle \lim_{x\to2} g(x)=-2. Então
\lim_{x\to2}\bigl[f(x)+5\,g(x)\bigr] = \lim_{x\to2} f(x) + 5\cdot\lim_{x\to2} g(x) = 4 + 5\cdot(-2).
Calcule: 5\cdot(-2)=-10, logo 4+(-10)=-6. Portanto o limite existe e vale -6.

Passo 4

Regra útil 2 — composição com função contínua:
Se \displaystyle \lim_{x\to a} A(x)=L e \varphi é contínua em L, então
\lim_{x\to a} \varphi\bigl(A(x)\bigr)=\varphi(L).
A raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} é contínua em qualquer ponto L>0. Há, porém, uma observação prática: para que \sqrt{f(x)} esteja bem definida (números reais) numa vizinhança de x=2, precisamos que f(x) seja não negativa perto de 2. Se \lim_{x\to2} f(x)=4>0, então existe uma vizinhança de 2 em que f(x)>0 (argumento simples: escolha \varepsilon=2, então para x próximo de 2 tem |f(x)-4|<2, o que implica f(x)>2>0). Assim \sqrt{f(x)} está bem definida perto de 2 e podemos usar a continuidade da raiz.

Passo 5

Aplicando a regra do Passo 4 ao item (b). Como \displaystyle \lim_{x\to2} f(x)=4 e \sqrt{\cdot} é contínua em 4,
\lim_{x\to2} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\lim_{x\to2} f(x)} = \sqrt{4}=2.
Portanto o limite existe e vale 2.

Passo 6

Regra útil 3 — limite de quociente:
Se \displaystyle \lim_{x\to a} A(x)=L_A e \displaystyle \lim_{x\to a} B(x)=L_B existem e L_B\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{L_A}{L_B}.
Importante: essa regra exige L_B\neq 0. Se L_B=0 a regra não se aplica e o limite pode não existir — pode divergir para \pm\infty ou não ter limite mesmo assim, dependendo do comportamento de B(x) e do sinal. Vamos ver o caso (c).

Passo 7

Analisando (c): sabemos \displaystyle \lim_{x\to2} g(x)=-2 (um número finito e diferente de zero) e \displaystyle \lim_{x\to2} h(x)=0. Como o limite do denominador é 0, não podemos usar a regra do Passo 6 para obter um quociente finito. Vamos mostrar que não pode existir um limite finito da forma \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}:
Suponha, por contradição, que exista um número finito L tal que
\lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)} = L.
Multiplicando ambos os lados pelo limite de h(x) (que é 0) e usando propriedades de limites (quando tudo existe), obteríamos
\lim_{x\to2} g(x) = \lim_{x\to2}\bigl(h(x)\cdot \tfrac{g(x)}{h(x)}\bigr) = \bigl(\lim_{x\to2} h(x)\bigr)\cdot \bigl(\lim_{x\to2} \tfrac{g(x)}{h(x)}\bigr) = 0\cdot L = 0.
Isso contradiz a informação dada de que \displaystyle \lim_{x\to2} g(x)=-2. Logo a suposição de que existe um limite finito leva a contradição; portanto não existe limite finito.

Passo 8

Poderia o quociente divergir para +\infty ou -\infty? Se quiséssemos dizer que o limite é +\infty ou -\infty, precisaríamos de informação sobre o sinal e a forma como h(x) se aproxima de 0 (por exemplo se h(x) tende a 0^+ ou 0^- e se isso ocorre de forma consistente pela esquerda e direita). Como o enunciado não diz nada sobre o sinal de h(x) nem sobre oscilações próximas a 2, não há como afirmar que o quociente tende para +\infty ou para -\infty. Assim, no sentido de limite finito (e também no sentido de limite infinito sem informação adicional), concluímos que o limite não existe.

Resposta

a) -6
b) 2
c) \text{não existe}ã

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