Calcule os limites, se existirem.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas no enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa é verificar se esse limite existe e, se existir, calcular o valor.
Passo 2
Primeiro teste: tentar a substituição direta
para ver o que acontece com numerador e denominador.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Como obtivemos
, temos uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição direta; é preciso manipular a expressão algebraicamente para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Fatorar o numerador. Observando
, essa expressão é um quadrado perfeito:
Dica rápida: para fatorar
com
, busca-se dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui
e
, logo
.
Passo 4
Fatorar o denominador. Usar a identidade de diferença de quadrados duas vezes:
Agora fatorar
também como diferença de quadrados:
Portanto a fatoração completa do denominador é
Passo 5
Substituir as fatorações na razão e simplificar os fatores comuns:
Como
aparece no numerador com multiplicidade 2 e no denominador com multiplicidade 1, podemos cancelar um fator
(válido para
):
Observação importante: cancelar é permitido porque estamos interessados no limite quando
se aproxima de
, não no valor da função exatamente em
(a função original está indefinida em
).
Passo 6
Agora calcular o limite da expressão simplificada por substituição direta, pois a nova expressão é contínua perto de
:
Substituir em
:
Substituir
Portanto a fração vale
. Assim o limite existe e é igual a
.
Passo 7
Interpretação final e dica geral:
- O limite existe e vale
. - Conceito útil: quando uma razão de polinômios dá forma indeterminada
, fatorar e simplificar é a técnica básica. Outra forma de ver (mais teórica) é pela multiplicidade da raiz: aqui o numerador tem raiz de multiplicidade e o denominador tem raiz de multiplicidade ; como a ordem do zero do numerador é maior que a do denominador, o limite tende a .
Exemplo rápido para fixar:— a ordem do zero no numerador (3) é maior que no denominador (1), logo o limite é .