Calcule os limites, se existirem.
d) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1}.
Informações dadas no enunciado:
  • Numerador: x^{2}+2x+1.
  • Denominador: x^{4}-1.
    A tarefa é verificar se esse limite existe e, se existir, calcular o valor.

Passo 2

Primeiro teste: tentar a substituição direta x=-1 para ver o que acontece com numerador e denominador.
Calcular o numerador em x=-1:
(-1)^{2}+2(-1)+1 = 1-2+1 = 0.
Calcular o denominador em x=-1:
(-1)^{4}-1 = 1-1 = 0.
Como obtivemos 0/0, temos uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição direta; é preciso manipular a expressão algebraicamente para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Fatorar o numerador. Observando x^{2}+2x+1, essa expressão é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Dica rápida: para fatorar ax^{2}+bx+c com a=1, busca-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui 1+1=2 e 1\cdot1=1, logo (x+1)(x+1).

Passo 4

Fatorar o denominador. Usar a identidade de diferença de quadrados duas vezes:
x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}+1).
Agora fatorar x^{2}-1 também como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto a fatoração completa do denominador é
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).

Passo 5

Substituir as fatorações na razão e simplificar os fatores comuns:
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1}=\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}.
Como x+1 aparece no numerador com multiplicidade 2 e no denominador com multiplicidade 1, podemos cancelar um fator x+1 (válido para x\neq -1):
\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{x+1}{(x-1)(x^{2}+1)},\qquad x\neq -1.
Observação importante: cancelar é permitido porque estamos interessados no limite quando x se aproxima de -1, não no valor da função exatamente em -1 (a função original está indefinida em x=-1).

Passo 6

Agora calcular o limite da expressão simplificada por substituição direta, pois a nova expressão é contínua perto de -1:
Substituir x=-1 em \dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+1)}:
\text{numerador: }x+1=-1+1=0,
\text{denominador: }(x-1)(x^{2}+1)=(-1-1)\big((-1)^{2}+1\big)=(-2)(1+1)=(-2)(2)=-4.
Portanto a fração vale \dfrac{0}{-4}=0. Assim o limite existe e é igual a 0.

Passo 7

Interpretação final e dica geral:
  • O limite existe e vale 0.
  • Conceito útil: quando uma razão de polinômios dá forma indeterminada 0/0, fatorar e simplificar é a técnica básica. Outra forma de ver (mais teórica) é pela multiplicidade da raiz: aqui o numerador tem raiz x=-1 de multiplicidade 2 e o denominador tem raiz x=-1 de multiplicidade 1; como a ordem do zero do numerador é maior que a do denominador, o limite tende a 0.
    Exemplo rápido para fixar: \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{3}}{x}=\lim_{x\to 0}x^{2}=0 — a ordem do zero no numerador (3) é maior que no denominador (1), logo o limite é 0.

Resposta

0

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