\int \frac{1}{2 x+7} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{2 x+7}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \frac{1}{2x+7} e a variável de integração é x. A resposta deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Vamos transformar a integral usando uma substituição simples. Isso é útil quando o integrando contém uma função linear no denominador, porque a derivada dessa função linear é uma constante. Defina
u = 2x+7.
Agora calcule a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x vem
du = 2\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substitua u e dx na integral original. A fração \frac{1}{2x+7} torna-se \frac{1}{u} e dx torna-se \frac{du}{2}. Assim
\int \frac{1}{2x+7}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}.

Passo 4

Fatore a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral (regra: constantes podem ser tiradas de integrais):
\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
Agora use que a primitiva de \frac{1}{u} é \ln|u|. Lembre-se: é importante usar valor absoluto dentro do logaritmo porque \ln|u| tem derivada \frac{1}{u} para u\neq0. Portanto
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C.

Passo 5

Revolva a substituição voltando para a variável x. Lembre que u=2x+7, então a primitiva em x é
\frac{1}{2}\ln|2x+7| + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): derive a resposta para checar se volta ao integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\ln|2x+7|\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2x+7}\cdot(2) = \frac{1}{2x+7},
que é exatamente o integrando. Tudo certo! Você conseguiu — a técnica principal aqui é reconhecer a função linear no denominador e usar substituição.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln|2x+7|+C

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