Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
e a variável de integração é
. A resposta deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Vamos transformar a integral usando uma substituição simples. Isso é útil quando o integrando contém uma função linear no denominador, porque a derivada dessa função linear é uma constante. Defina
Agora calcule a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
vem
Isolando
obtemos
Passo 3
Substitua
e
na integral original. A fração
torna-se
e
torna-se
. Assim
Passo 4
Fatore a constante
para fora da integral (regra: constantes podem ser tiradas de integrais):
Agora use que a primitiva de
é
. Lembre-se: é importante usar valor absoluto dentro do logaritmo porque
tem derivada
para
. Portanto
Passo 5
Revolva a substituição voltando para a variável
. Lembre que
, então a primitiva em
é
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): derive a resposta para checar se volta ao integrando. Derivando
que é exatamente o integrando. Tudo certo! Você conseguiu — a técnica principal aqui é reconhecer a função linear no denominador e usar substituição.