\int \operatorname{sec} ^{2}(4-x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(4-x)\,\mathrm{d}x.
Informações dadas: a integranda é \operatorname{sec}^{2}(4-x) e a variável de integração é x. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}^{2}(4-x).

Passo 2

Estratégia escolhida: fazer uma substituição simples para transformar a integral numa forma que conhecemos bem. Motivação didática: sabemos que a derivada de \tan é \operatorname{sec}^{2}. Então queremos reduzir o integrando para exatamente \operatorname{sec}^{2} de alguma expressão simples, sem o fator extra vindo da derivada interna. A substituição mais direta é definir uma nova variável igual à expressão dentro da função trigonométrica.

Passo 3

Faço a substituição
u = 4 - x.
Agora calculo a diferencial \mathrm{d}u. Derivando ambos os lados em relação a x temos \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -1, isto é,
\mathrm{d}u = -\,\mathrm{d}x \quad\text{ou}\quad \mathrm{d}x = -\,\mathrm{d}u.
Substituindo na integral, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(4-x)\,\mathrm{d}x = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,(-\,\mathrm{d}u) = -\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Agora usamos a fórmula básica (mini-aula): a derivada da função tangente é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\big(\tan u\big)=\operatorname{sec}^{2}u.
Breve demonstração dessa fórmula: \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Derivando por quociente obtemos
\frac{\cos u\cdot\cos u - \sin u\cdot(-\sin u)}{\cos^{2}u}=\frac{\cos^{2}u+\sin^{2}u}{\cos^{2}u}=\frac{1}{\cos^{2}u}=\operatorname{sec}^{2}u.
Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u. Aplicando isso à integral do passo anterior:
- \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\mathrm{d}u = -\tan u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora refaço a substituição de volta para x: como u=4-x,
-\tan u + C = -\tan(4-x) + C.
Observação útil (para usar direto na prova): como \tan é função ímpar ( \tan(-t)=-\tan t) e \operatorname{sec}^{2} é par ( \operatorname{sec}^{2}(-t)=\operatorname{sec}^{2}t), uma forma equivalente e muitas vezes mais curta de escrever a primitiva é
\tan(x-4)+C,
pois \tan(x-4)= -\tan(4-x). Ambas as formas representam a mesma família de primitivas (diferença apenas absorvida em C).

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação: derivando \tan(x-4) obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan(x-4)=\operatorname{sec}^{2}(x-4)\cdot 1=\operatorname{sec}^{2}(x-4).
Como \operatorname{sec}^{2}(x-4)=\operatorname{sec}^{2}(4-x) (paridade de \operatorname{sec}^{2}), a derivada coincide com o integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\tan(x-4)+C

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