Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é
e a variável de integração é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Estratégia escolhida: fazer uma substituição simples para transformar a integral numa forma que conhecemos bem. Motivação didática: sabemos que a derivada de
é
. Então queremos reduzir o integrando para exatamente
de alguma expressão simples, sem o fator extra vindo da derivada interna. A substituição mais direta é definir uma nova variável igual à expressão dentro da função trigonométrica.
Passo 3
Faço a substituição
Agora calculo a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
temos
, isto é,
Substituindo na integral, obtemos
Passo 4
Agora usamos a fórmula básica (mini-aula): a derivada da função tangente é
Breve demonstração dessa fórmula:
. Derivando por quociente obtemos
Portanto uma primitiva de
é
. Aplicando isso à integral do passo anterior:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora refaço a substituição de volta para
: como
,
Observação útil (para usar direto na prova): como
é função ímpar (
) e
é par (
), uma forma equivalente e muitas vezes mais curta de escrever a primitiva é
pois
. Ambas as formas representam a mesma família de primitivas (diferença apenas absorvida em
).
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação: derivando
obtemos
Como
(paridade de
), a derivada coincide com o integrando, confirmando que a primitiva está correta.