Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas:\n
Integrando:
.\n
Variável de integração:
.\n
Objetivo: encontrar uma primitiva (fórmula antiderivada) que, ao ser derivada, retorne . Não começamos a resolver aqui, apenas identificamos o que é pedido e os dados.
Informações dadas:\n
Objetivo: encontrar uma primitiva (fórmula antiderivada) que, ao ser derivada, retorne
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): quando o integrando tem a forma
, uma técnica padrão é a substituição (trocar a expressão interna por uma nova variável). Isso funciona porque a derivada da função interna aparece multiplicando via a regra da cadeia — aqui a função interna é
e sua derivada é uma constante (
), o que facilita a substituição. A substituição transforma a integral em uma integral mais simples em relação a uma nova variável.
Passo 3
Fazemos a substituição. Defina
Agora calcule o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Substitua
e
na integral original. Temos
Como
é constante, posso colocá-la fora da integral:
Passo 5
Agora integramos
. Conhecimento básico de derivadas/integrais: a derivada de
em relação a
é
. Portanto uma primitiva de
é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à expressão com o fator
, obtemos
onde
é outra constante arbitrária (podemos apenas escrever uma constante
no final). Substituindo de volta
, fica
Passo 7
Verificação (importante para a prova): calcule a derivada de
para confirmar que retorna o integrando. Pela regra da cadeia:
Confere perfeitamente. Então a primitiva está correta.