\int \cos (3-6 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \int \cos(3-6x)\,\mathrm{d}x.\n
Informações dadas:\n
\bullet Integrando: \cos(3-6x).\n
\bullet Variável de integração: x.\n
Objetivo: encontrar uma primitiva (fórmula antiderivada) que, ao ser derivada, retorne \cos(3-6x). Não começamos a resolver aqui, apenas identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): quando o integrando tem a forma \cos(\text{função de }x)çã, uma técnica padrão é a substituição (trocar a expressão interna por uma nova variável). Isso funciona porque a derivada da função interna aparece multiplicando via a regra da cadeia — aqui a função interna é 3-6x e sua derivada é uma constante ( -6), o que facilita a substituição. A substituição transforma a integral em uma integral mais simples em relação a uma nova variável.

Passo 3

Fazemos a substituição. Defina
u = 3 - 6x.
Agora calcule o diferencial \mathrm{d}u. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3-6x)\,\mathrm{d}x = -6\,\mathrm{d}x.
Isolando \mathrm{d}x temos
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{-6}.

Passo 4

Substitua u e \mathrm{d}x na integral original. Temos
\int \cos(3-6x)\,\mathrm{d}x = \int \cos(u)\cdot\frac{\mathrm{d}u}{-6}.
Como -\tfrac{1}{6} é constante, posso colocá-la fora da integral:
\int \cos(3-6x)\,\mathrm{d}x = -\tfrac{1}{6}\int \cos(u)\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Agora integramos \int \cos(u)\,\mathrm{d}u. Conhecimento básico de derivadas/integrais: a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Portanto uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Assim
\int \cos(u)\,\mathrm{d}u = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à expressão com o fator -\tfrac{1}{6}, obtemos
-\tfrac{1}{6}\int \cos(u)\,\mathrm{d}u = -\tfrac{1}{6}\bigl(\sin(u)+C\bigr) = -\tfrac{1}{6}\sin(u) + C',
onde C'=-\tfrac{1}{6}C é outra constante arbitrária (podemos apenas escrever uma constante C no final). Substituindo de volta u=3-6x, fica
-\tfrac{1}{6}\sin(3-6x) + C.

Passo 7

Verificação (importante para a prova): calcule a derivada de -\tfrac{1}{6}\sin(3-6x) para confirmar que retorna o integrando. Pela regra da cadeia:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(-\tfrac{1}{6}\sin(3-6x)\right) = -\tfrac{1}{6}\cos(3-6x)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3-6x) = -\tfrac{1}{6}\cos(3-6x)\cdot(-6) = \cos(3-6x).
Confere perfeitamente. Então a primitiva está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{6}\sin(3-6x)+C

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