A função integranda é uma função racional \dfrac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}.
A integral é imprópria porque o intervalo é unbounded (vai até \infty); portanto será preciso tomar limite quando x\to\infty.
Pergunta: encontrar o valor numérico da integral.
Passo 2
Qual método usar? Para integrais de funções racionais onde o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatora em polinômios simples/quadráticos irreduzíveis (aqui (x+1) e (x^2+1)), o método padrão é decompor em frações parciais e integrar termo a termo. Vou usar frações parciais porque:
permite escrever a integranda como soma de termos cuja antiderivada é conhecida (logaritmo e arco-tangente);
é direto e eficaz sem precisar de técnicas mais avançadas.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais. Procuro constantes A,B,C\) tais que
\[\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
1=A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1).
Expandindo o lado direito:
1 = A x^{2}+A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Igualando coeficientes (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante) com o polinômio constante 1 (que tem coeficiente zero para x e x^{2}) obtemos o sistema:
Para \dfrac{1}{x+1}, a antiderivada é \ln|x+1|. Aqui x+1>0 no intervalo considerado, então uso \ln(x+1).
Para \dfrac{x}{x^{2}+1}, note que a derivada de x^{2}+1 é 2x. Logo \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
Para \dfrac{1}{x^{2}+1}, a antiderivada é \arctan x.
Assim uma primitiva da função integranda é
F(x)=\frac{1}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}\arctan x =\frac{1}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}\arctan x.
Mais rigorosamente, pode-se ver que essa combinação tende a 0 quando R\to\infty (as razões dentro do log tendem a 1). A parte \frac{1}{2}\arctan R tende a \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}. Portanto