\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas e o que precisamos fazer:
  • A função integranda é uma função racional \dfrac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}.
  • A integral é imprópria porque o intervalo é unbounded (vai até \infty); portanto será preciso tomar limite quando x\to\infty.
  • Pergunta: encontrar o valor numérico da integral.

Passo 2

Qual método usar? Para integrais de funções racionais onde o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatora em polinômios simples/quadráticos irreduzíveis (aqui (x+1) e (x^2+1)), o método padrão é decompor em frações parciais e integrar termo a termo. Vou usar frações parciais porque:
  • permite escrever a integranda como soma de termos cuja antiderivada é conhecida (logaritmo e arco-tangente);
  • é direto e eficaz sem precisar de técnicas mais avançadas.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Procuro constantes A,B,C\) tais que \[\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
1=A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1).
Expandindo o lado direito:
1 = A x^{2}+A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Igualando coeficientes (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante) com o polinômio constante 1 (que tem coeficiente zero para x e x^{2}) obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=0,\\[4pt] A+C=1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Da segunda \(C=-B, logo C=-(-A)=A. Substituindo na terceira:
A+C = A + A = 2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Então
A=\tfrac{1}{2},\qquad B=-\tfrac{1}{2},\qquad C=\tfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.]

Passo 4

Agora integraremos termo a termo. Escrevo a integral como soma de três integrais:
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x\,dx}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}.
Preciso das primitivas de cada integrando:
  • Para \dfrac{1}{x+1}, a antiderivada é \ln|x+1|. Aqui x+1>0 no intervalo considerado, então uso \ln(x+1).
  • Para \dfrac{x}{x^{2}+1}, note que a derivada de x^{2}+1 é 2x. Logo \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
  • Para \dfrac{1}{x^{2}+1}, a antiderivada é \arctan x.
Assim uma primitiva da função integranda é
F(x)=\frac{1}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}\arctan x =\frac{1}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}\arctan x.

Passo 5

Agora tratamos a integral imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)}=\lim_{R\to\infty}\Big[F(R)-F(0)\Big].
Calculo F(R) quando R\to\infty. Primeiro analiso a parte logarítmica:
\frac{1}{2}\ln(R+1)-\frac{1}{4}\ln(R^{2}+1) =\frac{1}{2}\ln\!\bigl(R+1\bigr)-\frac{1}{4}\ln\!\bigl(R^{2}+1\bigr).
Para grandes R, \ln(R+1)\sim\ln R e \ln(R^{2}+1)\sim 2\ln R. Então
\frac{1}{2}\ln(R+1)-\frac{1}{4}\ln(R^{2}+1)\sim\frac{1}{2}\ln R-\frac{1}{4}\cdot 2\ln R=0.
Mais rigorosamente, pode-se ver que essa combinação tende a 0 quando R\to\infty (as razões dentro do log tendem a 1). A parte \frac{1}{2}\arctan R tende a \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}. Portanto
\lim_{R\to\infty}F(R)=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Calculo F(0):
F(0)=\frac{1}{2}\ln(0+1)-\frac{1}{4}\ln(0^{2}+1)+\frac{1}{2}\arctan 0 =\frac{1}{2}\ln 1-\frac{1}{4}\ln 1+\frac{1}{2}\cdot 0=0.
Logo a integral vale
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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