Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações e aquilo que precisamos usar (retirado do enunciado):
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Observação didática sobre trigonometria e derivadas úteis aqui (isso explica a escolha do método): a função
é a cotangente, que em notação usual é
. Uma identidade de derivadas trigonométricas importante é
onde
é a cossecante (ou cosecant) e
. Isso significa que
Esse fato sugere a substituição
, porque o diferencial de
aparece (até um sinal) multiplicando o resto do integrando.
Agora faço a substituição explicitamente:
Também converto os limites usando
:
(Para lembrar:
. Em
temos
então
. Em
temos
então
.)
Passo 3
Substituindo na integral original, usando
, obtemos
Troco os limites para eliminar o sinal negativo (regra:
):
Agora integro termo a termo. Lembrando que
e
, temos
Avalio nos extremos:
Passo 4
Interpretação final e reforço: a integral ficou simples depois da substituição
porque
é (menos) o diferencial de
. Essa é uma técnica padrão em integrais envolvendo funções exponenciais compostas com funções trigonométricas cujas derivadas aparecem multiplicando o resto do integrando.