\int_{\pi / 4}^{\pi / 2}\left(1+e^{\operatorname{cotg} \theta}\right) \operatorname{cossec}^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(1+e^{\operatorname{cotg}\theta}\right)\operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta.
Informações e aquilo que precisamos usar (retirado do enunciado):
  • O integrando é \left(1+e^{\operatorname{cotg}\theta}\right)\operatorname{cossec}^{2}\theta.
  • Os limites de integração são \theta=\pi/4 (limite inferior) e \theta=\pi/2 (limite superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Observação didática sobre trigonometria e derivadas úteis aqui (isso explica a escolha do método): a função \operatorname{cotg}\theta é a cotangente, que em notação usual é \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Uma identidade de derivadas trigonométricas importante é
\frac{d}{d\theta}\big(\cot\theta\big) = -\csc^{2}\theta,
onde \csc\theta é a cossecante (ou cosecant) e \csc^{2}\theta=\operatorname{cossec}^{2}\theta. Isso significa que
\operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta = -d\big(\cot\theta\big).
Esse fato sugere a substituição u=\cot\theta, porque o diferencial de u aparece (até um sinal) multiplicando o resto do integrando.
Agora faço a substituição explicitamente:
u=\cot\theta,\qquad du = -\operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta.
Também converto os limites usando u=\cot\theta:
\text{quando }\theta=\pi/4:\quad u=\cot(\pi/4)=1,
\text{quando }\theta=\pi/2:\quad u=\cot(\pi/2)=0.
(Para lembrar: \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Em \pi/4 temos \cos=\sin=\tfrac{\sqrt{2}}{2} então \cot(\pi/4)=1. Em \pi/2 temos \cos=0,\\ \sin=1 então \cot(\pi/2)=0.)

Passo 3

Substituindo na integral original, usando \operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta = -du, obtemos
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(1+e^{\operatorname{cotg}\theta}\right)\operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta = -\int_{u=1}^{u=0}\big(1+e^{u}\big)\,du.
Troco os limites para eliminar o sinal negativo (regra: -\int_{1}^{0} = \int_{0}^{1}):
-\int_{1}^{0}\big(1+e^{u}\big)\,du = \int_{0}^{1}\big(1+e^{u}\big)\,du.
Agora integro termo a termo. Lembrando que \int 1\,du = u e \int e^{u}\,du = e^{u}, temos
\int_{0}^{1}\big(1+e^{u}\big)\,du = \left[u + e^{u}\right]_{0}^{1}.
Avalio nos extremos:
\left[u + e^{u}\right]_{0}^{1} = (1 + e^{1}) - (0 + e^{0}) = 1 + e - 1 = e.

Passo 4

Interpretação final e reforço: a integral ficou simples depois da substituição u=\cot\theta porque \operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta é (menos) o diferencial de \cot\theta. Essa é uma técnica padrão em integrais envolvendo funções exponenciais compostas com funções trigonométricas cujas derivadas aparecem multiplicando o resto do integrando.

Resposta

e

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