Determine a área da região “triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva
, abaixo pela curva
e à direita pela reta
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados do enunciado:
- A região está no primeiro quadrante.
- A região é limitada acima pela curva
. - A região é limitada abaixo pela curva
. - A região é limitada à direita pela reta vertical
.
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a área da região descrita.
Passo 2
Escolha do método (explicação prática e motivação):
- A região é descrita por funções
em função de (duas curvas e ) e por uma reta vertical . Isso sugere usar fatias verticais (tirinhas finas de largura ) e integrar em . - Fórmula que vamos usar (intuição): se uma região é delimitada por cima por
e por baixo por , e são os limites horizontais, então a área é Vou explicar essa fórmula: imagine partir a região em tirinhas verticais de largura infinitesimal ; a área da tirinha em é aproximadamente altura largura . Somando todas as tirinhas e passando ao limite obtém-se a integral acima. - Portanto vou:
- Encontrar os limites em
(o e ) determinando onde as curvas se encontram no primeiro quadrante e usando como limite direito. - Montar e calcular a integral
entre esses limites.
- Encontrar os limites em
Passo 3
Determinar o limite esquerdo
— ponto onde as curvas se encontram no primeiro quadrante:
- As curvas se cruzam quando
. - Resolver
. Subtraindo os dois lados ou fatorando: - Como
para todo , a única solução é , ou seja . - Assim
. - Conclusão: o limite esquerdo é
. O limite direito é dado no enunciado .
Passo 4
Montar a integral que dá a área:
- Usando a fórmula da área entre curvas com
(curva de cima) e (curva de baixo), entre e , temos - Antes de integrar, lembrete didático: integranda é a diferença das alturas; integrar soma as áreas das tirinhas. Tudo certinho porque para
entre e vale (pode-se ver que para , e portanto ).
Passo 5
Calcular as primitivas (antiderivadas) — aula rápida sobre integrais de exponenciais:
- Regra básica: para um número real
, Explicação rápida: derivate de é pela regra da cadeia; então para recuperar divide-se por . - Aplicando essa regra:
- Logo a primitiva de
é
Passo 6
Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo e simplificar passo a passo:
- Temos
- Usar propriedades dos logaritmos/exponenciais:
- Substituindo:
- Calcular cada parte:
Então
Passo 7
Interpretação final rápida e incentivo:
- O valor da área deu
. Bonito resultado: apesar de envolver exponenciais, as manipulações são diretas graças às propriedades de e à fórmula de integração . - Você consegue reproduzir esse tipo de cálculo na prova: primeiro ache os limites (interseção das curvas), monte a integral
e use a primitiva de exponenciais.