Determine a área da região “triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y=e^{2 x}, abaixo pela curva y=e^{x} e à direita pela reta x=\ln 3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • A região está no primeiro quadrante.
    • A região é limitada acima pela curva y=e^{2x}.
    • A região é limitada abaixo pela curva y=e^{x}.
    • A região é limitada à direita pela reta vertical x=\ln 3.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a área da região descrita.

Passo 2

Escolha do método (explicação prática e motivação):
  • A região é descrita por funções y em função de x (duas curvas y=f(x) e y=g(x)) e por uma reta vertical x=\ln 3. Isso sugere usar fatias verticais (tirinhas finas de largura dx) e integrar em x.
  • Fórmula que vamos usar (intuição): se uma região é delimitada por cima por y= f(x) e por baixo por y= g(x), e a\le x\le b são os limites horizontais, então a área é \text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.ÁVou explicar essa fórmula: imagine partir a região em tirinhas verticais de largura infinitesimal dx; a área da tirinha em x é aproximadamente altura \times largura =\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx. Somando todas as tirinhas e passando ao limite obtém-se a integral acima.
  • Portanto vou:
    1. Encontrar os limites em x (o a e b) determinando onde as curvas se encontram no primeiro quadrante e usando x=\ln 3 como limite direito.
    2. Montar e calcular a integral \int (e^{2x}-e^{x})\,dx entre esses limites.

Passo 3

Determinar o limite esquerdo a — ponto onde as curvas se encontram no primeiro quadrante:
  • As curvas se cruzam quando e^{2x}=e^{x}.
  • Resolver e^{2x}=e^{x}. Subtraindo os dois lados ou fatorando: e^{2x}-e^{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\bigl(e^{x}-1\bigr)=0.
  • Como e^{x}>0 para todo x, a única solução é e^{x}-1=0, ou seja e^{x}=1.
  • Assim x=0.
  • Conclusão: o limite esquerdo é a=0. O limite direito é dado no enunciado b=\ln 3.

Passo 4

Montar a integral que dá a área:
  • Usando a fórmula da área entre curvas com f(x)=e^{2x} (curva de cima) e g(x)=e^{x} (curva de baixo), entre x=0 e x=\ln 3, temos \text{Área}=\int_{0}^{\ln 3}\bigl(e^{2x}-e^{x}\bigr)\,dx.Á
  • Antes de integrar, lembrete didático: integranda é a diferença das alturas; integrar soma as áreas das tirinhas. Tudo certinho porque para x entre 0 e \ln 3 vale e^{2x}\ge e^{x} (pode-se ver que para x\ge0, e^{x}\ge1 e portanto e^{2x}=(e^{x})^{2}\ge e^{x}).

Passo 5

Calcular as primitivas (antiderivadas) — aula rápida sobre integrais de exponenciais:
  • Regra básica: para um número real k\neq0, \int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}\,e^{kx}+C.Explicação rápida: derivate de e^{kx} é k e^{kx} pela regra da cadeia; então para recuperar e^{kx} divide-se por k.
  • Aplicando essa regra: \int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C, \qquad \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.
  • Logo a primitiva de e^{2x}-e^{x} é F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}-e^{x}.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo e simplificar passo a passo:
  • Temos \text{Área}= \left[\frac{1}{2}e^{2x}-e^{x}\right]_{0}^{\ln 3} =\Bigl(\frac{1}{2}e^{2\ln 3}-e^{\ln 3}\Bigr)-\Bigl(\frac{1}{2}e^{0}-e^{0}\Bigr).Á
  • Usar propriedades dos logaritmos/exponenciais: e^{\ln 3}=3, \qquad e^{2\ln 3}=e^{\ln 3^{2}}=3^{2}=9, \qquad e^{0}=1.
  • Substituindo: \text{Área}=\Bigl(\frac{1}{2}\cdot 9 - 3\Bigr)-\Bigl(\frac{1}{2}\cdot 1 - 1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{9}{2}-3\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{2}-1\Bigr).Á
  • Calcular cada parte: \tfrac{9}{2}-3=\tfrac{9-6}{2}=\tfrac{3}{2}, \qquad \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.Então \text{Área}=\tfrac{3}{2}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}=2.Á

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo:
  • O valor da área deu 2. Bonito resultado: apesar de envolver exponenciais, as manipulações são diretas graças às propriedades de e^{\ln(\cdot)} e à fórmula de integração \int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}.
  • Você consegue reproduzir esse tipo de cálculo na prova: primeiro ache os limites (interseção das curvas), monte a integral \int (topo-baixo)\,dx e use a primitiva de exponenciais.

Resposta

2

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