1. \int_{0}^{\infty}\left(t^{2}+1\right)^{-1} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\left(t^{2}+1\right)^{-1} dt.
Informações dadas:
  • O integrando é f(t)=\dfrac{1}{t^{2}+1}.
  • O intervalo de integração é semi-infinito: de 0 até +\infty.
O que é pedido:
  • Determinar o valor numérico da integral (e verificar convergência, se necessário).

Passo 2

Entendendo o tipo de integral: esta é uma integral imprópria por causa do intervalo infinito. A definição que vamos usar é a seguinte:
\int_{0}^{\infty} f(t)\,dt \coloneqq \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(t)\,dt,
ou seja, calculamos a integral definida até um ponto finito R e depois fazemos R tender a infinito. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge e o valor desse limite é o valor da integral.

Passo 3

Procurar uma primitiva (antiderivada) de f(t)=\dfrac{1}{t^{2}+1}. Conhecimento útil (que vamos justificar): a função \arctan t tem derivada \dfrac{d}{dt}\arctan t=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Vou mostrar por que isso é verdade de forma bem direta e sem pular etapas.
Seja y=\arctan t. Por definição de arco-tangente, isso significa que
\tan y = t,
com y\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Diferenciando ambos os lados em relação a t (derivada implícita):
\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dt} = 1.
Logo
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}y = 1+\tan^{2}y e lembrando que \tan y = t, obtemos
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{1+\tan^{2}y} = \frac{1}{1+t^{2}}.
Portanto \dfrac{d}{dt}\arctan t = \dfrac{1}{1+t^{2}}, ou seja, uma primitiva de f(t) é \arctan t.

Passo 4

Calcular a integral definida de 0 até R usando a primitiva:
\int_{0}^{R}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \big[\arctan t\big]_{0}^{R} = \arctan R - \arctan 0.
Como \arctan 0 = 0, isso simplifica para
\int_{0}^{R}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan R.

Passo 5

Agora aplicar a definição de integral imprópria, tomando o limite quando R\to\infty:
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \lim_{R\to\infty}\arctan R.
Falta avaliar \lim_{R\to\infty}\arctan R. Raciocínio para esse limite: a função \arctan x é crescente e tem assíntota horizontal em y=\tfrac{\pi}{2}; de fato, para ângulos y próximos de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda, \tan y cresce muito e tende a +\infty, portanto o inverso diz que quando a entrada x tende a +\infty, \arctan x tende a \tfrac{\pi}{2}. Assim
\lim_{R\to\infty}\arctan R = \frac{\pi}{2}.

Passo 6

Juntando tudo, concluímos que a integral converge e seu valor é
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \frac{\pi}{2}.
Pequeno incentivo: esse é um resultado clássico que vale a pena decorar — aparece muitas vezes em provas e exercícios.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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