Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é semi-infinito: de
até .
O que é pedido:
- Determinar o valor numérico da integral (e verificar convergência, se necessário).
Passo 2
Entendendo o tipo de integral: esta é uma integral imprópria por causa do intervalo infinito. A definição que vamos usar é a seguinte:
ou seja, calculamos a integral definida até um ponto finito
e depois fazemos
tender a infinito. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge e o valor desse limite é o valor da integral.
Passo 3
Procurar uma primitiva (antiderivada) de
. Conhecimento útil (que vamos justificar): a função
tem derivada
. Vou mostrar por que isso é verdade de forma bem direta e sem pular etapas.
Seja
. Por definição de arco-tangente, isso significa que
com
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(derivada implícita):
Logo
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que
, obtemos
Portanto
, ou seja, uma primitiva de
é
.
Passo 4
Calcular a integral definida de
até
usando a primitiva:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora aplicar a definição de integral imprópria, tomando o limite quando
:
Falta avaliar
. Raciocínio para esse limite: a função
é crescente e tem assíntota horizontal em
; de fato, para ângulos
próximos de
pela esquerda,
cresce muito e tende a
, portanto o inverso diz que quando a entrada
tende a
,
tende a
. Assim
Passo 6
Juntando tudo, concluímos que a integral converge e seu valor é
Pequeno incentivo: esse é um resultado clássico que vale a pena decorar — aparece muitas vezes em provas e exercícios.