Seja S o sólido fechado que é delimitado pelas superfícies
-x^{2}-y^{2}+z^{2}=56 \quad \text { e } \quad z=x^{2}+y^{2} .
Monte as integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas que permitem calcular o volume do sólido S.
A seguir, responda aos seguintes itens:
a) Em coordenadas cartesianas, basta uma única integral para calcular o volume de \boldsymbol{S}.
Tomando z como variável totalmente dependente, y como variável parcialmente dependente e \boldsymbol{x} como variável independente, essa integral é:
V(S)=
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta em cartesianas)
b) Em coordenadas cilíndricas, basta também uma única integral para calcular o volume de S.
Tomando z como variável totalmente dependente, r como variável parcialmente dependente e \theta como variável independente, essa integral é:
V(S)=
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta em cilíndricas)
c) Em coordenadas esféricas, é necessário usar uma soma de duas integrais triplas para calcular o volume de S.
Tomando \rho como variável totalmente dependente e \varphi como variável parcialmente dependente, têm-se que os limitantes dessas integrais são:

Parte 1:

i) \rho \in[0, □
ii) \varphi \in[0, □ ]
Os limitantes para \theta não precisam ser informados.

Parte 2:

iv) \rho \in[0, □ ]
v) \varphi \in[ □ , □ ]
Os limitantes para \theta não precisam ser informados.
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir as resposta em coordenadas esféricas)
d) Ao escolher uma das integrais para resolver, obtém-se que o valor numérico do volume de S é igual a
□ unidades de volume.

Passo 1

O enunciado dá o sólido fechado S limitado pelas superfícies
-x^{2}-y^{2}+z^{2}=56
e
z=x^{2}+y^{2}.
O que é pedido:
  • Montar a integral tripla em coordenadas cartesianas (com ordem de integração dz\,dy\,dx z totalmente dependente, y parcialmente dependente, x independente).
  • Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas (com ordem dz\,dr\,d\theta z totalmente dependente, r parcialmente dependente, \theta independente).
  • Mostrar que, em coordenadas esféricas, são necessárias duas integrais e informar os limitantes pedidos (duas partes com limites para \rho e \varphi).
  • Calcular o valor numérico do volume de S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A segunda superfície é o paraboloide z=x^{2}+y^{2} (sempre \ge 0).
  • A primeira superfície pode ser reescrita como z^{2}-x^{2}-y^{2}=56, isto é, z=\pm\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}. Como o paraboloide tem z\ge0, o sólido está entre z=x^{2}+y^{2} e a folha positiva z=+\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}.
  • A interseção das duas superfícies determina a “fronteira radial” no plano xy; essa interseção será usada para obter os limites em x,y ou em r.
A resolução começa agora.

Passo 2

Encontro da curva de interseção (passo obrigatório para achar projeção no plano xy e os limites em r ou x,y).
  • Use coordenadas cilíndricas auxiliares para facilitar: r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Na interseção temos simultaneamente z=r^{2} e z^{2}-r^{2}=56. Substituindo z=r^{2} na segunda equação:
(r^{2})^{2}-r^{2}-56=0.
  • Defina u=r^{2}. Então u^{2}-u-56=0. A equação quadrática tem discriminante \Delta=1+224=225, \sqrt{\Delta}=15.
  • Assim
u=\frac{1\pm15}{2}.
A solução positiva é
u=\frac{1+15}{2}=8.
A outra solução é negativa ( -7) e não interessa porque u=r^{2}\ge0.
  • Logo r^{2}=8, isto é r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. No ponto de interseção z=r^{2}=8.
Resumo útil (que vamos usar nos limites):
  • Projeção de S no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le8.
  • Em coordenadas cilíndricas, r\in[0,\sqrt{8}] e \theta\in[0,2\pi].
  • Em qualquer ponto da projeção, z varia entre z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} e z_{\text{sup}}=\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Integral em coordenadas cartesianas (ordem dz\,dy\,dx), explicando cada limite.
  • Primeiro: projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le8. Para fazer \int dy com x fixo, os limites de y são os de uma seção de círculo:
y\in\bigl[-\sqrt{8-x^{2}},\\ \sqrt{8-x^{2}}\bigr].
  • Para x independente, aos extremos do disco x\in[-\sqrt{8},\sqrt{8}].
  • Para z totalmente dependente (ordem interna), z vai do paraboloide até a folha positiva do hiperbolóide:
z\in\bigl[x^{2}+y^{2},\\ \sqrt{56+x^{2}+y^{2}}\bigr].
  • Portanto a integral que dá o volume é
V(S)=\int_{x=-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}}\int_{y=-\sqrt{8-x^{2}}}^{\sqrt{8-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}}dz\,dy\,dx.
Observação didática curta: escolher essa ordem dz\,dy\,dx é natural aqui porque para cada par (x,y) do disco, z varia entre duas superfícies expressas diretamente por x,y.

Passo 4

Integral em coordenadas cilíndricas (ordem dz\,dr\,d\theta). Lembrete rápido das fórmulas:
  • Coordenadas: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\\ z=z.
  • Jacobiano: dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
  • As superfícies ficam z=r^{2} e z=\sqrt{56+r^{2}}.
  • A projeção no plano r\theta é r\in[0,\sqrt{8}],\\ \theta\in[0,2\pi].
Portanto a integral em cilíndricas é
V(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{8}}\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{56+r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Dica prática para prova: essa é a forma mais curta e simétrica para calcular volume neste problema; o fator r vem do jacobiano e é essencial.

Passo 5

Passagem para coordenadas esféricas — derivação das equações das superfícies em termos de \rho,\varphi,\theta e motivo da necessidade de duas integrais.
Recordando a transformação esférica:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
com dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Transforme cada superfície:
  1. Paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
  • Em esféricas, z=\rho\cos\varphi e x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.
  • Assim a equação é
\rho\cos\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.
  • Para \rho\neq0 (a origem também satisfaz a superfície), isolando \rho:
\rho=\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.
(este é o valor de \rho onde o raio em direção \varphi corta o paraboloide — observe que quando \sin\varphi é pequeno este \rho é grande).
  1. Hiperbolóide (folha positiva) z^{2}-x^{2}-y^{2}=56.
  • Em esféricas:
(\rho\cos\varphi)^{2}-(\rho\sin\varphi)^{2}=56
\rho^{2}(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi)=56
\rho^{2}\cos 2\varphi =56.
  • Logo, quando \cos 2\varphi>0,
\rho=\sqrt{\dfrac{56}{\cos 2\varphi}}.
(Observe que é preciso \cos 2\varphi>0 para \rho real; isso restringe \varphi para valores em que a folha positiva existe visto da origem — no intervalo principal de interesse temos \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{4}).)
Agora a discussão sobre por que são necessárias duas integrais:
  • Para um dado ângulo \varphi, ao seguir o raio saindo da origem, os pontos do sólido S correspondem aos \rho tais que simultaneamente z\ge r^{2} (ou seja, acima do paraboloide) e z\le\sqrt{56+r^{2}} (ou seja, abaixo do hiperbolóide). No contexto dos cortes pelo raio, a região em \rho vai de \rho=0 até o menor valor positivo entre os dois \rho onde o raio cruza cada superfície.
  • Para ângulos muito pequenos (perto do eixo z), o hiperbolóide é o primeiro a cortar o raio — isto é, \rho_{\text{hip}}<\rho_{\text{par}}. Para ângulos mais inclinados (perto de \varphi=\tfrac{\pi}{4}), o paraboloide corta primeiro: \rho_{\text{par}}<\rho_{\text{hip}}. Na transição os dois cortes coincidem (é a curva de interseção encontrada no Passo 2).
  • Portanto devemos dividir em duas partes em \varphi: uma onde o teto radial é \rho_{\text{hip}}=\sqrt{56/\cos 2\varphi} e outra onde o teto é \rho_{\text{par}}=\cos\varphi/\sin^{2}\varphi.
Determinar o ângulo de transição \phi_{0} (o ângulo da curva de interseção):
  • Na interseção já encontramos r^{2}=8 e z=8. Em esféricas,
\rho_{0}=\sqrt{r^{2}+z^{2}}=\sqrt{8+64}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.
  • Logo \cos\phi_{0}=z/\rho_{0}=8/(6\sqrt{2})=\dfrac{4}{3\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
  • Então
\phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right).
Escrevendo, portanto, os limitantes pedidos nas duas partes:
Parte 1 (ângulos próximos ao eixo z, onde o hiperbolóide corta primeiro)
i) \rho\in\bigl[0,\\ \sqrt{\dfrac{56}{\cos 2\varphi}}\bigr].
ii) \varphi\in\bigl[0,\\ \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\bigr)\bigr].
Parte 2 (ângulos mais inclinados, onde o paraboloide corta primeiro)
iv) \rho\in\bigl[0,\\ \dfrac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}\bigr].
v) \varphi\in\bigl[\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\bigr),\\ \tfrac{\pi}{4}\bigr].
(Os limites em \theta são os usuais 0 a 2\pi, mas o enunciado disse que não precisam ser informados.)

Passo 6

Cálculo efetivo do volume usando a integral cilíndrica (a mais direta para cálculo). Reescrevo a integral e calculo passo a passo.
Integral em cilíndricas:
V(S)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{8}}\int_{r^{2}}^{\sqrt{56+r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integre primeiro em z:
\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{56+r^{2}}} r\,dz = r\Bigl(\sqrt{56+r^{2}}-r^{2}\Bigr).
Logo
V(S)=\int_{0}^{2\pi} \left(\int_{0}^{\sqrt{8}} r\bigl(\sqrt{56+r^{2}}-r^{2}\bigr)\,dr\right)d\theta.
A integral em \theta dá um fator 2\pi:
V(S)=2\pi\int_{0}^{\sqrt{8}} \bigl(r\sqrt{56+r^{2}}-r^{3}\bigr)\,dr.
Separar em duas integrais:
I_{1}=\int_{0}^{\sqrt{8}} r\sqrt{56+r^{2}}\,dr,\qquad I_{2}=\int_{0}^{\sqrt{8}} r^{3}\,dr.
Calcule I_{1} com a substituição u=56+r^{2}, du=2r\,dr \Rightarrow r\,dr=du/2.
  • Quando r=0, u=56. Quando r=\sqrt{8}, u=64.
I_{1}=\int_{56}^{64} \frac{1}{2}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{56}^{64} =\frac{1}{3}\bigl(64^{3/2}-56^{3/2}\bigr).
Calcule 64^{3/2}=512 e escreva 56^{3/2}=56\sqrt{56}=112\sqrt{14} (porque \sqrt{56}=2\sqrt{14}).
Portanto
I_{1}=\frac{1}{3}\bigl(512-112\sqrt{14}\bigr).
Calcule I_{2}:
I_{2}=\int_{0}^{\sqrt{8}} r^{3}\,dr=\frac{1}{4}r^{4}\Big|_{0}^{\sqrt{8}}=\frac{1}{4}\bigl(\sqrt{8}\bigr)^{4}=\frac{1}{4}\cdot64=16.
Assim a integral radial é
\int_{0}^{\sqrt{8}}\bigl(r\sqrt{56+r^{2}}-r^{3}\bigr)\,dr = I_{1}-I_{2} =\frac{1}{3}\bigl(512-112\sqrt{14}\bigr)-16.
Colocando em comum denominador:
\frac{1}{3}\bigl(512-112\sqrt{14}\bigr)-16 =\frac{1}{3}\bigl(512-112\sqrt{14}-48\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(464-112\sqrt{14}\bigr).
Multiplicando por 2\pi:
V(S)=2\pi\cdot\frac{1}{3}\bigl(464-112\sqrt{14}\bigr) =\frac{2\pi}{3}\bigl(464-112\sqrt{14}\bigr).
Fatorando 16 para ficar mais compacto:
464=16\cdot29,\qquad 112=16\cdot7,
logo
V(S)=\frac{2\pi}{3}\cdot16\bigl(29-7\sqrt{14}\bigr) =\frac{32\pi}{3}\bigl(29-7\sqrt{14}\bigr).
Se quiser uma aproximação numérica rápida:
29-7\sqrt{14}\approx29-7\cdot3{,}741657\approx29-26{,}1916\approx2{,}8084,
então
V(S)\approx\frac{32\pi}{3}\cdot2{,}8084\approx94{,}1\\ (\text{unidades}^3).

Resposta

(a) \displaystyle V(S)=\int_{x=-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}}\int_{y=-\sqrt{8-x^{2}}}^{\sqrt{8-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}}dz\,dy\,dx.
(b) \displaystyle V(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{8}}\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{56+r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
(c) Parte 1:
i) \displaystyle \rho\in\bigl[0,\\ \sqrt{\dfrac{56}{\cos 2\varphi}}\bigr]
ii) \displaystyle \varphi\in\bigl[0,\\ \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\bigr)\bigr]
Parte 2:
iv) \displaystyle \rho\in\bigl[0,\\ \dfrac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}\bigr]
v) \displaystyle \varphi\in\bigl[\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\bigr),\\ \tfrac{\pi}{4}\bigr]
(d) \displaystyle V(S)=\frac{32\pi}{3}\bigl(29-7\sqrt{14}\bigr) (unidades de volume).

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