Seja S o sólido fechado que é delimitado pelas superfícies
-x^{2}-y^{2}+z^{2}=56 \quad \text { e } \quad z=x^{2}+y^{2} .
Monte as integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas que permitem calcular o volume do sólido S.
A seguir, responda aos seguintes itens:
a) Em coordenadas cartesianas, basta uma única integral para calcular o volume de \boldsymbol{S}.
Tomando z como variável totalmente dependente, y como variável parcialmente dependente e \boldsymbol{x} como variável independente, essa integral é:
V(S)=
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta em cartesianas)
b) Em coordenadas cilíndricas, basta também uma única integral para calcular o volume de S.
Tomando z como variável totalmente dependente, r como variável parcialmente dependente e \theta como variável independente, essa integral é:
V(S)=
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta em cilíndricas)
c) Em coordenadas esféricas, é necessário usar uma soma de duas integrais triplas para calcular o volume de S.
Tomando \rho como variável totalmente dependente e \varphi como variável parcialmente dependente, têm-se que os limitantes dessas integrais são:
Parte 1:
i) \rho \in[0, □
ii) \varphi \in[0, □ ]
Os limitantes para \theta não precisam ser informados.
Parte 2:
iv) \rho \in[0, □ ]
v) \varphi \in[ □ , □ ]
Os limitantes para \theta não precisam ser informados.
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir as resposta em coordenadas esféricas)
d) Ao escolher uma das integrais para resolver, obtém-se que o valor numérico do volume de S é igual a
□ unidades de volume.
Passo 1
O enunciado dá o sólido fechado S limitado pelas superfícies
-x^{2}-y^{2}+z^{2}=56
e
z=x^{2}+y^{2}.
O que é pedido:
Montar a integral tripla em coordenadas cartesianas (com ordem de integração dz\,dy\,dx — z totalmente dependente, y parcialmente dependente, x independente).
Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas (com ordem dz\,dr\,d\theta — z totalmente dependente, r parcialmente dependente, \theta independente).
Mostrar que, em coordenadas esféricas, são necessárias duas integrais e informar os limitantes pedidos (duas partes com limites para \rho e \varphi).
Calcular o valor numérico do volume de S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A segunda superfície é o paraboloide z=x^{2}+y^{2} (sempre \ge 0).
A primeira superfície pode ser reescrita como z^{2}-x^{2}-y^{2}=56, isto é, z=\pm\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}. Como o paraboloide tem z\ge0, o sólido está entre z=x^{2}+y^{2} e a folha positiva z=+\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}.
A interseção das duas superfícies determina a “fronteira radial” no plano xy; essa interseção será usada para obter os limites em x,y ou em r.
A resolução começa agora.
Passo 2
Encontro da curva de interseção (passo obrigatório para achar projeção no plano xy e os limites em r ou x,y).
Use coordenadas cilíndricas auxiliares para facilitar: r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Na interseção temos simultaneamente z=r^{2} e z^{2}-r^{2}=56. Substituindo z=r^{2} na segunda equação:
(r^{2})^{2}-r^{2}-56=0.
Defina u=r^{2}. Então u^{2}-u-56=0. A equação quadrática tem discriminante \Delta=1+224=225, \sqrt{\Delta}=15.
Assim
u=\frac{1\pm15}{2}.
A solução positiva é
u=\frac{1+15}{2}=8.
A outra solução é negativa (-7) e não interessa porque u=r^{2}\ge0.
Logo r^{2}=8, isto é r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. No ponto de interseção z=r^{2}=8.
Resumo útil (que vamos usar nos limites):
Projeção de S no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le8.
Em coordenadas cilíndricas, r\in[0,\sqrt{8}] e \theta\in[0,2\pi].
Em qualquer ponto da projeção, z varia entre z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} e z_{\text{sup}}=\sqrt{56+x^{2}+y^{2}}.
Passo 3
Integral em coordenadas cartesianas (ordem dz\,dy\,dx), explicando cada limite.
Primeiro: projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le8. Para fazer \int dy com x fixo, os limites de y são os de uma seção de círculo:
Observação didática curta: escolher essa ordem dz\,dy\,dx é natural aqui porque para cada par (x,y) do disco, z varia entre duas superfícies expressas diretamente por x,y.
Passo 4
Integral em coordenadas cilíndricas (ordem dz\,dr\,d\theta). Lembrete rápido das fórmulas:
Dica prática para prova: essa é a forma mais curta e simétrica para calcular volume neste problema; o fator r vem do jacobiano e é essencial.
Passo 5
Passagem para coordenadas esféricas — derivação das equações das superfícies em termos de \rho,\varphi,\theta e motivo da necessidade de duas integrais.
(Observe que é preciso \cos 2\varphi>0 para \rho real; isso restringe \varphi para valores em que a folha positiva existe visto da origem — no intervalo principal de interesse temos \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{4}).)
Agora a discussão sobre por que são necessárias duas integrais:
Para um dado ângulo \varphi, ao seguir o raio saindo da origem, os pontos do sólido S correspondem aos \rho tais que simultaneamente z\ge r^{2} (ou seja, acima do paraboloide) e z\le\sqrt{56+r^{2}} (ou seja, abaixo do hiperbolóide). No contexto dos cortes pelo raio, a região em \rho vai de \rho=0 até o menor valor positivo entre os dois \rho onde o raio cruza cada superfície.
Para ângulos muito pequenos (perto do eixo z), o hiperbolóide é o primeiro a cortar o raio — isto é, \rho_{\text{hip}}<\rho_{\text{par}}. Para ângulos mais inclinados (perto de \varphi=\tfrac{\pi}{4}), o paraboloide corta primeiro: \rho_{\text{par}}<\rho_{\text{hip}}. Na transição os dois cortes coincidem (é a curva de interseção encontrada no Passo 2).
Portanto devemos dividir em duas partes em \varphi: uma onde o teto radial é \rho_{\text{hip}}=\sqrt{56/\cos 2\varphi} e outra onde o teto é \rho_{\text{par}}=\cos\varphi/\sin^{2}\varphi.
Determinar o ângulo de transição \phi_{0} (o ângulo da curva de interseção):
Na interseção já encontramos r^{2}=8 e z=8. Em esféricas,
Escrevendo, portanto, os limitantes pedidos nas duas partes:
Parte 1 (ângulos próximos ao eixo z, onde o hiperbolóide corta primeiro)
i) \rho\in\bigl[0,\\ \sqrt{\dfrac{56}{\cos 2\varphi}}\bigr].
ii) \varphi\in\bigl[0,\\ \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\bigr)\bigr].
Parte 2 (ângulos mais inclinados, onde o paraboloide corta primeiro)
iv) \rho\in\bigl[0,\\ \dfrac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}\bigr].
v) \varphi\in\bigl[\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\bigr),\\ \tfrac{\pi}{4}\bigr].
(Os limites em \theta são os usuais 0 a 2\pi, mas o enunciado disse que não precisam ser informados.)
Passo 6
Cálculo efetivo do volume usando a integral cilíndrica (a mais direta para cálculo). Reescrevo a integral e calculo passo a passo.