Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas e pedido:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito. - O objetivo é encontrar o valor numérico da integral (verificar convergência e calcular o resultado).
Passo 2
Definição e estratégia: uma integral com limite infinito é definida por limite finito. Ou seja,
Para resolver
basta encontrar uma primitiva (antiderivada). Uma técnica natural aqui é a substituição simples porque o expoente
tem derivada proporcional a
. Vou usar essa substituição para obter a primitiva.
Passo 3
Substituição passo a passo:
- Faça a troca de variável
. - Então a diferencial é
, ou seja
Agora transforme a integral indefinida:
A integral de
é
, logo
onde
é a constante de integração.
(Verificação rápida: derive :
, bate certinho.)
(Verificação rápida: derive
Passo 4
Agora use a primitiva para avaliar a integral imprópria como limite:
Calcule o valor dentro do colchete:
Agora o limite quando
: como
(exponencial decai muito rápido),
Portanto a integral converge e o valor é
.
Passo 5
Resumo didático e dicas para a prova:
- Técnica chave: identificar que a substituição
simplifica porque contém . Sempre que vir pense nessa substituição. - Alternativa rápida: reconhecer que a primitiva de
é porque a derivada de traz um fator . - Exemplo parecido para treinar: calcule
. Usando a mesma primitiva, obtemos . Fazer exercícios assim ajuda a automatizar o reconhecimento da substituição em prova. - Fique animado: você já sabe a ideia principal (substituição), então com alguns exercícios similares vai pegar o jeito rapidinho!