\int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}} \, d x.
Informações dadas e pedido:
  • A função integranda é x e^{-x^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da integral (verificar convergência e calcular o resultado).

Passo 2

Definição e estratégia: uma integral com limite infinito é definida por limite finito. Ou seja,
\int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}} \, d x = \lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} x e^{-x^{2}} \, d x.
Para resolver \int x e^{-x^{2}}\,dx basta encontrar uma primitiva (antiderivada). Uma técnica natural aqui é a substituição simples porque o expoente -x^{2} tem derivada proporcional a x. Vou usar essa substituição para obter a primitiva.

Passo 3

Substituição passo a passo:
  • Faça a troca de variável \;u = x^{2}.
  • Então a diferencial é \;du = 2x\,dx, ou seja \;x\,dx = \dfrac{du}{2}.
    Agora transforme a integral indefinida:
\int x e^{-x^{2}} \, dx = \int e^{-u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{-u}\,du.
A integral de e^{-u} é -e^{-u}, logo
\int x e^{-x^{2}} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-u} + C = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração.
(Verificação rápida: derive -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}}: \dfrac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}}\right)= -\tfrac{1}{2}\cdot(-2x)e^{-x^{2}}=x e^{-x^{2}}, bate certinho.)

Passo 4

Agora use a primitiva para avaliar a integral imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}} \, d x = \lim_{R\to\infty} \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \right]_{0}^{R}.
Calcule o valor dentro do colchete:
\left[ -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \right]_{0}^{R} = -\frac{1}{2} e^{-R^{2}} - \left( -\frac{1}{2} e^{0} \right) = -\frac{1}{2} e^{-R^{2}} + \frac{1}{2}.
Agora o limite quando R\to\infty: como e^{-R^{2}}\to 0 (exponencial decai muito rápido),
\lim_{R\to\infty}\left( -\frac{1}{2} e^{-R^{2}} + \frac{1}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
Portanto a integral converge e o valor é \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Técnica chave: identificar que a substituição u=x^{2} simplifica porque du contém x\,dx. Sempre que vir x e^{\pm x^{2}} pense nessa substituição.
  • Alternativa rápida: reconhecer que a primitiva de x e^{-x^{2}} é -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}} porque a derivada de e^{-x^{2}} traz um fator -2x.
  • Exemplo parecido para treinar: calcule \int_{0}^{\infty} 2x e^{-x^{2}}\,dx. Usando a mesma primitiva, obtemos 1. Fazer exercícios assim ajuda a automatizar o reconhecimento da substituição em prova.
  • Fique animado: você já sabe a ideia principal (substituição), então com alguns exercícios similares vai pegar o jeito rapidinho!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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