1. \int(3 x+2)\left(3 x^{2}+4 x\right)^{4} d x, \quad u=3 x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (3x+2)\,(3x^{2}+4x)^{4}\,dx
usando a substituição u=3x^{2}+4x. O conteúdo aqui é o método de substituição em integrais.

Passo 2

Definimos
u = 3x^{2}+4x.
Calculamos du:
du = (6x+4)\,dx = 2\,(3x+2)\,dx
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(3x+2)\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituímos na integral original. Como (3x+2)\,dx = \tfrac{du}{2} e (3x^{2}+4x)^{4}=u^{4}, temos
\int (3x+2)\,(3x^{2}+4x)^{4}\,dx = \int u^{4}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int u^{4}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5} = \frac{u^{5}}{10} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=3x^{2}+4x, então
\frac{u^{5}}{10} + C = \frac{\bigl(3x^{2}+4x\bigr)^{5}}{10} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(3x^{2}+4x)^{5}}{10} + C

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