1. \int \frac{2 s+2}{\left(s^{2}+1\right)(s-1)^{3}} d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2s+2}{\bigl(s^{2}+1\bigr)\,(s-1)^{3}}\,ds.
O conteúdo da matéria é frações parciais em funções racionais. Vamos decompor o integrando em parcelas mais simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{2s+2}{(s^{2}+1)(s-1)^{3}} =\frac{As+B}{s^{2}+1}+\frac{C}{s-1}+\frac{D}{(s-1)^{2}}+\frac{E}{(s-1)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s-1)^{3} e igualando coeficientes de potências de s, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -3A + B - 2C + D = 0,\\\\ 3A - 3B + 2C - D + E = 0,\\\\ - A + 3B - 2C + D = 2,\\\\ - B + C - D + E = 2. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema passo a passo:
  1. A + C=0 C=-A.
  2. -A+ B+ D=0 B+D=A.
  3. -A+3B-2C+D=2 (quarta equação) ⇒ substituindo C=-A e D=A-B A+3B+(A-B)=2 2A+2B=2 A+B=1 B=1-A.
  4. Então D=A-B= A-(1-A)=2A-1.
  5. A terceira equação 3A-3B+2C-D+E=0 dá, após substituir B, C, D,
    E=3B+D-A=3(1-A)+(2A-1)-A=2-2A.
  6. Por fim, usando a quinta equação -B+C-D+E=2 chegamos a A=0.
Logo
A=0,\quad B=1,\quad C=0,\quad D=-1,\quad E=2.

Passo 4

Substituindo de volta,
\frac{2s+2}{(s^{2}+1)(s-1)^{3}} =\frac{1}{s^{2}+1} -\frac{1}{(s-1)^{2}} +\frac{2}{(s-1)^{3}}.
Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle\int \frac{1}{s^{2}+1}\,ds=\arctan(s).
  2. \displaystyle\int -\frac{1}{(s-1)^{2}}\,ds =\int -(s-1)^{-2}ds=(s-1)^{-1} =\frac{1}{s-1}.
  3. \displaystyle\int \frac{2}{(s-1)^{3}}\,ds =2\int (s-1)^{-3}ds =2\cdot\frac{(s-1)^{-2}}{-2} =-\frac{1}{(s-1)^{2}}.

Passo 5

Somando as três integrais, obtemos a antiderivada geral
\arctan(s) +\frac{1}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^{2}} + C.

Resposta

\int \frac{2s+2}{(s^{2}+1)(s-1)^{3}}\,ds =\arctan(s) +\frac{1}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^{2}} + C.

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