1. \int \frac{y^{2}+2 y+1}{\left(y^{2}+1\right)^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{y^{2}+2y+1}{\bigl(y^{2}+1\bigr)^{2}}\,dy.
O tema é técnicas de integração por decomposição do integrando em partes mais simples, explorando derivada de y^{2}+1 e integrais conhecidas como \int 1/(y^{2}+1)\,dy.

Passo 2

Vamos escrever o numerador de modo a separar termos:
y^{2}+2y+1 = (y^{2}+1) + 2y.
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\frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}} = \frac{y^{2}+1}{(y^{2}+1)^{2}} + \frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{y^{2}+1} + \frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Integramos cada parcela separadamente:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{y^{2}+1}\,dy = \arctan(y). 2. Para \displaystyle \int \frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy, use u = y^{2}+1, então du = 2y\,dy. A integral vira
\int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{y^{2}+1} + C.

Passo 4

Somando os resultados e unificando a constante de integração, obtemos
\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy = \arctan(y) - \frac{1}{y^{2}+1} + C.

Resposta

\arctan(y) \;-\;\frac{1}{y^{2}+1} + C.

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