Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos recordar duas regras fundamentais de integração que vamos usar (explicadas de forma bem simples).
Regra de linearidade:
e
onde
é uma constante. Isso significa que podemos separar somas e tirar constantes para fora da integral.
Regra da potência (para primitiva):
Se , então
Se
onde
é a constante de integração. Essa fórmula vale também para
negativo (por exemplo
ou
), desde que
.
Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 3
Primeiro escrevemos as potências de
explícitas:
Usando a linearidade da integral, separamos:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência para achar as primitivas (antiderivadas) de cada termo.
Para
(aqui
):
Para
(aqui
):
Multiplicando por
e lembrando do sinal da expressão separada, temos a antiderivada do segundo termo:
Somando as primitivas (lembrando do sinal do primeiro termo), uma primitiva
da função inteira é:
(Para checar: derivando
dá
, que é exatamente o integrando.)
Passo 5
Para a integral definida usamos o teorema fundamental do cálculo: avaliamos
no limite superior e no limite inferior e subtraímos:
Calculemos
e
.
Primeiro,
Depois,
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: encontramos que a antiderivada vale
. Derivando
obtemos de volta o integrando, então a primitiva está correta. A avaliação em
e
deu
e
respectivamente, resultando em
.
Força — você conseguiu! Integral calculada passo a passo.