\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}.
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=2.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos recordar duas regras fundamentais de integração que vamos usar (explicadas de forma bem simples).
Regra de linearidade:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
e
\int c\,f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é uma constante. Isso significa que podemos separar somas e tirar constantes para fora da integral.
Regra da potência (para primitiva):
Se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Essa fórmula vale também para n negativo (por exemplo n=-2 ou n=-3), desde que n\neq -1.
Exemplo rápido para fixar: \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1}+C.

Passo 3

Primeiro escrevemos as potências de x explícitas:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2},\qquad \frac{4}{x^{3}} = 4x^{-3}.
Usando a linearidade da integral, separamos:
\int_{1}^{2}\left(x^{-2}-4x^{-3}\right)\,dx = \int_{1}^{2}x^{-2}\,dx - 4\int_{1}^{2}x^{-3}\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência para achar as primitivas (antiderivadas) de cada termo.
Para x^{-2} (aqui n=-2):
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C.
Para x^{-3} (aqui n=-3):
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}x^{-2} + C.
Multiplicando por 4 e lembrando do sinal da expressão separada, temos a antiderivada do segundo termo:
4\int x^{-3}\,dx = 4\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right) = -2x^{-2}.
Somando as primitivas (lembrando do sinal do primeiro termo), uma primitiva F(x) da função inteira é:
F(x) = -x^{-1} - \bigl(-2x^{-2}\bigr) = -x^{-1} + 2x^{-2}.
(Para checar: derivando F(x) x^{-2}-4x^{-3}, que é exatamente o integrando.)

Passo 5

Para a integral definida usamos o teorema fundamental do cálculo: avaliamos F(x) no limite superior e no limite inferior e subtraímos:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx = F(2)-F(1).
Calculemos F(2) e F(1).
Primeiro,
F(2) = -2^{-1} + 2\cdot 2^{-2} = -\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.
Depois,
F(1) = -1^{-1} + 2\cdot 1^{-2} = -1 + 2\cdot 1 = -1 + 2 = 1.
Portanto
F(2)-F(1) = 0 - 1 = -1.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: encontramos que a antiderivada vale F(x) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^{2}}. Derivando F obtemos de volta o integrando, então a primitiva está correta. A avaliação em 2 e 1 deu 0 e 1 respectivamente, resultando em -1.
Força — você conseguiu! Integral calculada passo a passo.

Resposta

-1

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