Calcule a integral de superfície \iint_{S} f(x, y, z) d S, sendo dados:
f(x, y, z)=x^{2} z e S a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície \iint_{S} f(x,y,z)\,dS onde estão dados:
f(x,y,z)=x^{2}z
e S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que fica entre os planos z=1 e z=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função escalar a integrar é f(x,y,z)=x^{2}z.
  • A superfície S é a porção do cone definido por z^{2}=x^{2}+y^{2} limitada pelos planos z=1 e z=4.
  • Como os planos têm z>0 ( 1 e 4), estamos na parte superior do cone, isto é, na nappe com z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (ou simplesmente z=r em coordenadas cilíndricas).
  • A integral pedida é uma integral de superfície de função escalar (sem orientação), ou seja, queremos \iint_{S} f\,dS.

Passo 2

Método escolhido e fórmula que vamos usar (explicando o porquê com calma):
Para integrar uma função escalar sobre uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), usamos a fórmula
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,du\,dv.
Aqui \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros u e v, e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá a área do elemento de superfície (é análogo ao fator Jacobiano). Essa fórmula é básica e segura para qualquer superfície parametrizada de forma suave.
Escolhi parametrizar S usando coordenadas cilíndricas porque o cone tem simetria radial: em coordenadas polares no plano xy, o cone superior é z=r. Isso simplifica muito a parametrização e o cálculo do elemento de área.

Passo 3

Parametrização do cone (explicação passo a passo):
Usamos como parâmetros \theta (ângulo polar) e z (altura), com
\mathbf{r}(\theta,z) = \big( z\cos\theta,\; z\sin\theta,\; z \big).
Justificativa: no cone superior temos r=z (pois z=\sqrt{x^2+y^2}=r). Assim, o raio radial é igual à altura z. Os intervalos dos parâmetros são
0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 1 \le z \le 4,
porque a parte do cone considerada é entre z=1 e z=4.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais da parametrização (mostrando cada componente):
Calculamos \mathbf{r}_\theta e \mathbf{r}_z.
\mathbf{r}_\theta(\theta,z) = \frac{\partial}{\partial\theta}\big(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z\big) = \big(-z\sin\theta,\; z\cos\theta,\; 0\big).
\mathbf{r}_z(\theta,z) = \frac{\partial}{\partial z}\big(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z\big) = \big(\cos\theta,\; \sin\theta,\; 1\big).
Cada componente está diferenciada claramente: por exemplo, \partial (z\cos\theta)/\partial \theta = -z\sin\theta e \partial (z\cos\theta)/\partial z = \cos\theta.

Passo 5

Cálculo do produto vetorial e da sua norma (elemento de área):
Agora fazemos o produto vetorial \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z. Usando a expansão por determinante:
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ - z\sin\theta & z\cos\theta & 0 \\\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo em cofatores:
  • Componente \mathbf{i}: (z\cos\theta)\cdot 1 - 0\cdot \sin\theta = z\cos\theta.
  • Componente \mathbf{j}: -\big((-z\sin\theta)\cdot 1 - 0\cdot \cos\theta\big) = -(-z\sin\theta)=z\sin\theta.
  • Componente \mathbf{k}: (-z\sin\theta)\cdot \sin\theta - (z\cos\theta)\cdot \cos\theta = -z(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = -z.
Logo
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \big(z\cos\theta,\; z\sin\theta,\; -z\big).
A norma desse vetor é
\big\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\| = \sqrt{(z\cos\theta)^2+(z\sin\theta)^2+(-z)^2} = \sqrt{z^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+z^{2}} = \sqrt{2z^{2}}=z\sqrt{2}.
Portanto o elemento de área é dS = z\sqrt{2}\,d\theta\,dz.

Passo 6

Expressar a função f na parametrização e montar a integral dupla:
Na parametrização temos x = z\cos\theta. Então
f\big(\mathbf{r}(\theta,z)\big)=x^{2}z=(z\cos\theta)^{2}\cdot z = z^{3}\cos^{2}\theta.
Multiplicando pela área elementar,
f\,dS = \big(z^{3}\cos^{2}\theta\big)\cdot\big(z\sqrt{2}\,d\theta\,dz\big) = z^{4}\sqrt{2}\,\cos^{2}\theta\,d\theta\,dz.
Portanto a integral sobre S vira a integral dupla
\iint_{S} f\,dS = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=1}^{4} z^{4}\sqrt{2}\,\cos^{2}\theta\;dz\;d\theta.

Passo 7

Avaliação da integral (separando variáveis e calculando cada parte):
A integranda separa em função de \theta e função de z, então podemos separar as integrais:
\iint_{S} f\,dS = \sqrt{2}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\;d\theta\right)\left(\int_{1}^{4} z^{4}\;dz\right).
Calcule \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\;d\theta. Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}, então
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\;d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\;d\theta = \frac{1}{2}\bigg[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\bigg]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}\big(2\pi - 0\big) = \pi.
Calcule \displaystyle \int_{1}^{4} z^{4}\;dz:
\int_{1}^{4} z^{4}\;dz = \left[\frac{z^{5}}{5}\right]_{1}^{4} = \frac{4^{5}-1^{5}}{5} = \frac{1024-1}{5} = \frac{1023}{5}.
Agora combine tudo:
\iint_{S} f\,dS = \sqrt{2}\cdot \pi \cdot \frac{1023}{5} = \frac{1023\pi\sqrt{2}}{5}.

Resposta

\dfrac{1023\pi\sqrt{2}}{5}

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