Calcule a integral de superfície \iint_{S} f(x, y, z) d S, sendo dados: f(x, y, z)=x^{2} z e S a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície \iint_{S} f(x,y,z)\,dS onde estão dados:
f(x,y,z)=x^{2}z
e S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que fica entre os planos z=1 e z=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função escalar a integrar é f(x,y,z)=x^{2}z.
A superfície S é a porção do cone definido por z^{2}=x^{2}+y^{2} limitada pelos planos z=1 e z=4.
Como os planos têm z>0 (1 e 4), estamos na parte superior do cone, isto é, na nappe com z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (ou simplesmente z=r em coordenadas cilíndricas).
A integral pedida é uma integral de superfície de função escalar (sem orientação), ou seja, queremos \iint_{S} f\,dS.
Passo 2
Método escolhido e fórmula que vamos usar (explicando o porquê com calma):
Para integrar uma função escalar sobre uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), usamos a fórmula
Aqui \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros u e v, e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá a área do elemento de superfície (é análogo ao fator Jacobiano). Essa fórmula é básica e segura para qualquer superfície parametrizada de forma suave.
Escolhi parametrizar S usando coordenadas cilíndricas porque o cone tem simetria radial: em coordenadas polares no plano xy, o cone superior é z=r. Isso simplifica muito a parametrização e o cálculo do elemento de área.
Passo 3
Parametrização do cone (explicação passo a passo):
Usamos como parâmetros \theta (ângulo polar) e z (altura), com
\mathbf{r}(\theta,z) = \big( z\cos\theta,\; z\sin\theta,\; z \big).
Justificativa: no cone superior temos r=z (pois z=\sqrt{x^2+y^2}=r). Assim, o raio radial é igual à altura z. Os intervalos dos parâmetros são
0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 1 \le z \le 4,
porque a parte do cone considerada é entre z=1 e z=4.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais da parametrização (mostrando cada componente):
Calculamos \mathbf{r}_\theta e \mathbf{r}_z.
Cada componente está diferenciada claramente: por exemplo, \partial (z\cos\theta)/\partial \theta = -z\sin\theta e \partial (z\cos\theta)/\partial z = \cos\theta.
Passo 5
Cálculo do produto vetorial e da sua norma (elemento de área):
Agora fazemos o produto vetorial \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z. Usando a expansão por determinante:
Avaliação da integral (separando variáveis e calculando cada parte):
A integranda separa em função de \theta e função de z, então podemos separar as integrais: