Seja
a região triangular do plano
de vértices
e
. Determine a área da superfície dada pela parte do gráfico de
que se projeta sobre o quadrado do plano
de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A superfície é a porção do gráfico da função
. - Há também uma região triangular
no plano com vértices , e . (Isso está no enunciado; vou listar como dado.) - A pergunta efetiva é: determinar a área da parte dessa superfície que se projeta sobre o quadrado do plano
cujos vértices são , , e . Ou seja, o domínio de projeção é o quadrado . - Em resumo: calcular a área da superfície
com .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que dá a área de uma superfície que é gráfico de uma função
sobre um domínio
no plano
.
- A fórmula é
- Aqui
e são as derivadas parciais de em relação a e . O integrando vem da norma do vetor normal à superfície (geometricamente mede quanto a superfície se inclina em relação ao plano). - Intuição rápida e amigável: se
(superfície horizontal), então a raiz vale e a área da superfície é igual à área do domínio . Se as derivadas aumentam, a raiz aumenta e a área da superfície fica maior que a área do domínio.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivando em relação a
:
pois
é tratado como constante e
.
- Derivando em relação a
:
pois
e
.
Passo 4
Montar o integral da área usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas do Passo 3.
- O integrando fica
- Como o domínio
é o quadrado , o integral é
- Observação prática: a integranda não depende de
, então a integral dupla simplifica multiplicando por (o comprimento em ):
Passo 5
Agora precisamos avaliar o integral
Vou apresentar uma técnica clássica para integrar funções do tipo
: integração por partes aplicada de maneira conveniente para obter a antiderivada fechada.
Passo 6
Derivação da antiderivada de
(aqui
, então
) usando integração por partes.
- Defina
. - Faça integração por partes escolhendo
e . Então e . - A fórmula de integração por partes dá
- Reescrevendo a integral do segundo termo como
a equação para
fica
- Isolando
:
- A integral
é clássica e tem resultado (mais precisamente até constantes). Assim
Passo 7
Aplicar a fórmula obtida ao nosso caso com
e avaliar o integral definido de
a
.
- A antiderivada para
é
- Avaliando de
a :
- Simplificando:
Passo 8
Interpretação final e conferência rápida:
- A expressão obtida é exata e está na forma usual (uma parte algébrica
mais um logarítmo). - Podemos também reescrever o log como
, se preferir pista numérica para checar com calculadora.