Seja R a região triangular do plano x y de vértices (0,0,0),(0,1,0) e (1,1,0). Determine a área da superfície dada pela parte do gráfico de z=y+\frac{x^{2}}{2} que se projeta sobre o quadrado do plano x y de vértices (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0) e (0,1,0).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A superfície é a porção do gráfico da função \displaystyle z = y + \frac{x^{2}}{2}.
  • Há também uma região triangular R no plano xy com vértices (0,0,0), (0,1,0) e (1,1,0). (Isso está no enunciado; vou listar como dado.)
  • A pergunta efetiva é: determinar a área da parte dessa superfície que se projeta sobre o quadrado do plano xy cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,1,0). Ou seja, o domínio de projeção é o quadrado D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
  • Em resumo: calcular a área da superfície S = \{(x,y,z)\mid z = y + \tfrac{x^{2}}{2},\\ (x,y)\in D\} com D=[0,1]\times[0,1].

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que dá a área de uma superfície que é gráfico de uma função z=f(x,y) sobre um domínio D no plano xy.
  • A fórmula é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.Á
  • Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. O integrando \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} vem da norma do vetor normal à superfície (geometricamente mede quanto a superfície se inclina em relação ao plano).
  • Intuição rápida e amigável: se f_x=f_y=0 (superfície horizontal), então a raiz vale 1 e a área da superfície é igual à área do domínio D. Se as derivadas aumentam, a raiz aumenta e a área da superfície fica maior que a área do domínio.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=y+\dfrac{x^{2}}{2}.
  • Derivando em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(y+\frac{x^{2}}{2}\right)=x,
pois y é tratado como constante e \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x.
  • Derivando em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y+\frac{x^{2}}{2}\right)=1,
pois \dfrac{\partial y}{\partial y}=1 e \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=0.

Passo 4

Montar o integral da área usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas do Passo 3.
  • O integrando fica
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+x^{2}+1}=\sqrt{2+x^{2}}.
  • Como o domínio D é o quadrado [0,1]\times[0,1], o integral é
\text{Área}(S)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{2+x^{2}}\,dy\,dx.Á
  • Observação prática: a integranda não depende de y, então a integral dupla simplifica multiplicando por 1 (o comprimento em y):
\text{Área}(S)=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\sqrt{2+x^{2}}\,dy\right)dx =\int_{0}^{1}\sqrt{2+x^{2}}\;(\,1\,)\;dx =\int_{0}^{1}\sqrt{2+x^{2}}\,dx.Á

Passo 5

Agora precisamos avaliar o integral
I=\int_{0}^{1}\sqrt{2+x^{2}}\,dx.
Vou apresentar uma técnica clássica para integrar funções do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}: integração por partes aplicada de maneira conveniente para obter a antiderivada fechada.

Passo 6

Derivação da antiderivada de \sqrt{x^{2}+a^{2}} (aqui a^{2}=2, então a=\sqrt{2}) usando integração por partes.
  • Defina I(x)=\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx.
  • Faça integração por partes escolhendo u=\sqrt{x^{2}+a^{2}} e dv=dx. Então du=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx e v=x.
  • A fórmula de integração por partes dá
I(x)=x\sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx.
  • Reescrevendo a integral do segundo termo como
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx=\int \frac{x^{2}+a^{2}-a^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx =\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx - a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx,
a equação para I(x) fica
I(x)=x\sqrt{x^{2}+a^{2}}-I(x)+a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx.
  • Isolando I(x):
2I(x)=x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx.
  • A integral \int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx é clássica e tem resultado \ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big) (mais precisamente \operatorname{arsinh}(x/a) até constantes). Assim
I(x)=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)+C.

Passo 7

Aplicar a fórmula obtida ao nosso caso com a^{2}=2 e avaliar o integral definido de 0 a 1.
  • A antiderivada para a^{2}=2 é
F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+2}+\frac{2}{2}\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+2}\big) =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+2}+\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+2}\big).
  • Avaliando de 0 a 1:
I=F(1)-F(0) =\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+2}+\ln(1+\sqrt{3})\right) -\left(0+\ln(\sqrt{2})\right).
  • Simplificando:
I=\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln(1+\sqrt{3})-\ln(\sqrt{2}) =\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right).

Passo 8

Interpretação final e conferência rápida:
  • A expressão obtida é exata e está na forma usual (uma parte algébrica \dfrac{\sqrt{3}}{2} mais um logarítmo).
  • Podemos também reescrever o log como \ln(1+\sqrt{3})-\tfrac{1}{2}\ln 2, se preferir pista numérica para checar com calculadora.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)

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