1. \int_{0}^{2}\left(t^{2}+3 t-1\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de polinômios, em que usamos a regra de potência para obter a antiderivada de cada termo.

Passo 2

Vamos achar uma antiderivada F(t) de f(t)=t^2+3t-1. Aplicando a regra de potência a cada termo:
\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3},\quad \int 3t\,dt = 3\cdot\frac{t^2}{2} = \frac{3t^2}{2},\quad \int (-1)\,dt = -t.
Logo,
F(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} - t.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando F(2)-F(0):
F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{3\cdot2^2}{2} - 2 = \frac{8}{3} + \frac{3\cdot4}{2} - 2 = \frac{8}{3} + 6 - 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8 + 12}{3} = \frac{20}{3},
F(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{3\cdot0^2}{2} - 0 = 0.
Portanto,
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt = F(2) - F(0) = \frac{20}{3}.

Resposta

\frac{20}{3}

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