\int_{-2}^{2}\left(x \cos \left(x^{2}+2 x^{4}\right)+3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{-2}^{2}\bigl(x \cos(x^2 + 2x^4) + 3x\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração definida e paridade de funções: vamos usar que, se f é ímpar, então
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = 0.

Passo 2

Observe a função
g(x) = x \cos(x^2 + 2x^4).
O argumento de \cos é
x^2 + 2x^4,
que satisfaz
(-x)^2 + 2(-x)^4 = x^2 + 2x^4.
Logo \cos(x^2+2x^4) é par. Multiplicando por x (que é ímpar), obtemos g ímpar. Portanto
\int_{-2}^{2} x \cos(x^2 + 2x^4)\,dx = 0.

Passo 3

Agora considere
h(x) = 3x.
Como x é função ímpar, 3x também é ímpar. Logo
\int_{-2}^{2} 3x\,dx = 0.

Passo 4

Usando a linearidade da integral, temos
\int_{-2}^{2}\bigl(x \cos(x^2 + 2x^4) + 3x\bigr)\,dx = \int_{-2}^{2} x \cos(x^2 + 2x^4)\,dx + \int_{-2}^{2} 3x\,dx = 0 + 0 = 0.

Resposta

0

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