Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
\sum \frac{n!x^{n}}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\,x^{n}}{n^{n}}
usando o critério da razão. Vamos aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois examinar os casos de igualdade no limite.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{n!\,x^{n}}{n^{n}}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)!\,x^{\,n+1}/(n+1)^{\,n+1}}{n!\,x^{n}/n^{n}} = x\;\frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = x\;\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = x\;\frac{1}{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}}.
Como \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}\to e quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{|x|}{e}.

Passo 3

Pelo critério da razão:
  • Se \tfrac{|x|}{e}<1, ou seja, |x|<e, a série converge.
  • Se \tfrac{|x|}{e}>1, ou seja, |x|>e, a série diverge.
    Para |x|=e o teste da razão é inconclusivo, pois o limite é 1.

Passo 4

Precisamos examinar x=e e x=-e. Usando a fórmula de Stirling
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac n e\Bigr)^{n},
temos para x=e:
a_{n} = \frac{n!\,e^{n}}{n^{n}} \sim \sqrt{2\pi n}\,\frac{(n/e)^{n}\,e^{n}}{n^{n}} = \sqrt{2\pi n}.
Logo a_{n}\not\to0, e a série diverge. Igual raciocínio vale para x=-e, pois |a_{n}|\sim\sqrt{2\pi n}\not\to0.

Resposta

A série converge somente para |x|<e e diverge para |x|\ge e.

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