\int e^{\ln x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int e^{\ln x^{2}}\,dx.
Aqui vamos usar propriedade de funções exponenciais e logaritmos e em seguida aplicar a regra de potência na integração.

Passo 2

Sabemos que, sempre que f(x)>0, vale
e^{\ln(f(x))}=f(x).
No nosso caso f(x)=x^2, que é positivo para x\neq0. Logo
e^{\ln x^{2}}=x^2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int e^{\ln x^{2}}\,dx = \int x^2\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle\int x^n\,dx usamos a regra de potência:
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.
Aqui n=2, então
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^3}{3} + C

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