\int \frac{d x}{\left(x^{2}+2 x+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{2} + 2x + 2}
O plano é completar o quadrado no denominador e usar a fórmula
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C.

Passo 2

Completar o quadrado em x^{2}+2x+2:
x^{2} + 2x + 2 = (x^{2} + 2x + 1) + 1 = (x+1)^{2} + 1.

Passo 3

Fazer a substituição
u = x + 1,\quad du = dx.
Então a integral torna-se
\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+1} = \int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C.
Voltando a x, obtemos
\arctan(x+1) + C.

Resposta

\displaystyle \arctan(x+1) + C

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