Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações dadas/implícitas:
- A integral a ser calculada é
. - A função
exige , portanto trabalharemos no domínio . - O resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a fórmula de integração por partes porque temos um produto implícito entre uma função cujo derivar é simples (
) e uma potência de
cuja integral também é simples (
). A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função que vamos diferenciar para obter , -
é a parte que vamos integrar para obter .
Explicando: escolhe-sede modo que seja mais simples, e de modo que também seja simples de obter.
Passo 3
Escolha prática para este problema:
Motivo (como eu escolheria na prova): derivar
torna-se
(mais simples) e integrar
dá uma potência de
fácil de manipular.
Passo 4
Calcular
e
:
Para
:
Usando a regra
para
, com
:
Passo 5
Aplicar integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 6
Calcular a integral restante
:
Logo,
Passo 7
Simplificação e forma alternativa: podemos fatorar
:
Lembrete de domínio: esta primitiva vale para
, que é o domínio natural da função original.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
portanto a primitiva está correta (os cancelamentos ocorrem ao derivar termo a termo como mostrado acima).