1. \int \ln (x) / x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=\frac{\ln(x)}{x^{2}}.
Informações dadas/implícitas:
  • A integral a ser calculada é \displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx.
  • A função \ln(x) exige x>0, portanto trabalharemos no domínio x>0.
  • O resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a fórmula de integração por partes porque temos um produto implícito entre uma função cujo derivar é simples ( \ln(x)) e uma potência de x cuja integral também é simples ( x^{-2}). A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que vamos diferenciar para obter du,
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
    Explicando: escolhe-se u de modo que du seja mais simples, e dv de modo que v=\int dv também seja simples de obter.

Passo 3

Escolha prática para este problema:
u=\ln(x),\qquad dv = x^{-2}\,dx.
Motivo (como eu escolheria na prova): derivar \ln(x) torna-se 1/x (mais simples) e integrar x^{-2} dá uma potência de x fácil de manipular.

Passo 4

Calcular du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Para v:
v=\int x^{-2}\,dx.
Usando a regra \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, com n=-2:
v=\frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplicar integração por partes:
\int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx = \ln(x)\left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\,dx\right).
Simplificando:
\int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\,dx:
\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Logo,
\int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x} -\frac{1}{x} + C.

Passo 7

Simplificação e forma alternativa: podemos fatorar -\dfrac{1}{x}:
\int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln(x)+1}{x} + C.
Lembrete de domínio: esta primitiva vale para x>0, que é o domínio natural da função original.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando F(x)=-\dfrac{\ln(x)+1}{x} obtemos
F'(x)=\frac{\ln(x)}{x^{2}},
portanto a primitiva está correta (os cancelamentos ocorrem ao derivar termo a termo como mostrado acima).

Resposta

-\dfrac{\ln(x)+1}{x}+C

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