1. \int x^{2} \cdot \arctan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}\cdot \arctan(x)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função a integrar é o produto de um polinômio x^{2} por uma função elementar \arctan(x).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\arctan(x).
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Quando vemos um produto do tipo polinômio \times função como \arctan(x), um método muito eficaz é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo que du e v sejam mais fáceis de manipular. Vou escolher
u=\arctan(x),\qquad dv=x^{2}\,dx,
porque:
  • A derivada de \arctan(x) é simples: \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • A integral de x^{2} é direta: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}.
    Essa escolha tende a simplificar o problema.

Passo 3

Calcular du e v a partir da escolha:
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \qquad v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\arctan(x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du obtemos
\int x^{2}\arctan(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\arctan(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Colocando o fator constante para fora da integral:
\int x^{2}\arctan(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\arctan(x) - \frac{1}{3}\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Resolver a integral \displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx. Para integrar uma fração racional onde o grau do numerador é maior que o do denominador, é conveniente fazer divisão polinomial ou manipulação algébrica. Observe que
x^{3} = x\,(1+x^{2}) - x.
Dividindo pelos dois lados por 1+x^{2} temos
\frac{x^{3}}{1+x^{2}} = x - \frac{x}{1+x^{2}}.
Portanto
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx = \int \left(x - \frac{x}{1+x^{2}}\right)\,dx = \int x\,dx - \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 5

Calcular separadamente cada integral do lado direito.
  1. A integral de x é direta:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx usamos a substituição clássica t=1+x^{2}. Então
dt = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,dt.
Assim
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{t}\cdot\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\ln(t) + C = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 6

Juntando os resultados do Passo 5:
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.
Voltando à expressão do Passo 3, com o fator \dfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\left(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2})\right) + C = \frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{6}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 7

Substituir essa expressão na fórmula original do Passo 3:
\int x^{2}\arctan(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\arctan(x) - \left(\frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{6}\ln(1+x^{2})\right) + C.
Distribuindo o sinal negativo:
\int x^{2}\arctan(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\arctan(x) - \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}\ln(1+x^{2}) + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\arctan(x)-\frac{x^{2}}{6}+\frac{1}{6}\ln(1+x^{2})+C

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