Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A função a integrar é o produto de um polinômio
por uma função elementar . - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método. Quando vemos um produto do tipo polinômio
função como
, um método muito eficaz é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhidos de modo que
e
sejam mais fáceis de manipular. Vou escolher
porque:
- A derivada de
é simples: . - A integral de
é direta: .
Essa escolha tende a simplificar o problema.
Passo 3
Calcular
e
a partir da escolha:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
obtemos
Colocando o fator constante para fora da integral:
Passo 4
Resolver a integral
. Para integrar uma fração racional onde o grau do numerador é maior que o do denominador, é conveniente fazer divisão polinomial ou manipulação algébrica. Observe que
Dividindo pelos dois lados por
temos
Portanto
Passo 5
Calcular separadamente cada integral do lado direito.
- A integral de
é direta:
- Para
usamos a substituição clássica . Então
Assim
Passo 6
Juntando os resultados do Passo 5:
Voltando à expressão do Passo 3, com o fator
:
Passo 7
Substituir essa expressão na fórmula original do Passo 3:
Distribuindo o sinal negativo: