\int \operatorname{arcsen} x d x

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos:
  • Pedido: calcular a integral \displaystyle \int \operatorname{arcsen} x\,dx.
  • Informação implícita: \operatorname{arcsen} x é a função arco-seno (inversa do seno) definida para -1<x<1.
  • Lembrete útil (fato que será usado depois): a derivada da função arco-seno é \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen} x\big)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} para -1<x<1.

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que vamos usar:
  • Aqui o caminho natural é usar a técnica de integração por partes, porque temos um produto implícito entre uma função “complicada” \operatorname{arcsen} x e 1 (já que dx é como multiplicar por 1). Integração por partes é ideal quando temos algo do tipo u (que derivando simplifica) vezes dv (que é fácil de integrar).
  • A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: u é uma função que escolhemos para derivar ( du será sua derivada vezes dx), e dv é a parte que integramos para obter v.

Passo 3

Escolhendo u e dv e calculando du e v:
  • Escolha conveniente:
    • u = \operatorname{arcsen} x.
    • dv = dx.
  • Calcular du: usando o fato do Passo 1,
du = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
  • Calcular v: integrar dv,
v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
  • Substituindo na fórmula,
\int \operatorname{arcsen} x\,dx = uv - \int v\,du = x\operatorname{arcsen} x - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
  • Portanto reduzimos o problema à avaliação de
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx por substituição:
  • Faça a substituição w = 1-x^{2}. Então
dw = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}dw.
  • Substituindo,
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{w}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{w}}\left(x\,dx\right) = \int \frac{1}{\sqrt{w}}\left(-\tfrac{1}{2}dw\right) = -\tfrac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
  • Integrando,
-\tfrac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\tfrac{1}{2}\cdot 2 w^{1/2} + C = -\sqrt{w}+C.
  • Voltando à variável x (pois w=1-x^{2}),
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{1-x^{2}} + C.

Passo 6

Montar a antiderivada final e verificar rapidamente:
  • Voltando ao resultado do Passo 4,
\int \operatorname{arcsen} x\,dx = x\operatorname{arcsen} x - \left(-\sqrt{1-x^{2}}\right) + C = x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1-x^{2}} + C.
  • Checagem rápida (diferenciação): derivando x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1-x^{2}} obtém-se
    • derivada de x\operatorname{arcsen} x é \operatorname{arcsen} x + x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
    • derivada de \sqrt{1-x^{2}} é \dfrac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x) = -\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
    • Somando, os termos com \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} cancelam, sobrando \operatorname{arcsen} x, que é exatamente o integrando. Logo está correto.

Passo 7

Observações finais e incentivo:
  • A fórmula útil que você pode memorizar para futuros exercícios é
\int \operatorname{arcsen} x\,dx = x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1-x^{2}} + C,
válida para -1<x<1 (e estendível por continuidade nos extremos com cuidado).
  • Bom trabalho! Isto é um padrão: para integrais de inversas (arcsin, arctan etc.) frequentemente usar integração por partes com u= a inversa funciona bem.

Resposta

\displaystyle x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1-x^{2}} + C

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