\int \operatorname{arcsen} x d x
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos:
- Pedido: calcular a integral
. - Informação implícita:
é a função arco-seno (inversa do seno) definida para . - Lembrete útil (fato que será usado depois): a derivada da função arco-seno é
para .
Passo 2
Escolha do método e a fórmula que vamos usar:
- Aqui o caminho natural é usar a técnica de integração por partes, porque temos um produto implícito entre uma função “complicada”
e (já que é como multiplicar por ). Integração por partes é ideal quando temos algo do tipo (que derivando simplifica) vezes (que é fácil de integrar). - A fórmula de integração por partes é
Explicando:
é uma função que escolhemos para derivar (
será sua derivada vezes
), e
é a parte que integramos para obter
.
Passo 3
Escolhendo
e
e calculando
e
:
- Escolha conveniente:
-
. -
.
-
- Calcular
: usando o fato do Passo 1,
- Calcular
: integrar ,
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
- Substituindo na fórmula,
- Portanto reduzimos o problema à avaliação de
Passo 5
Calcular
por substituição:
- Faça a substituição
. Então
- Substituindo,
- Integrando,
- Voltando à variável
(pois ),
Passo 6
Montar a antiderivada final e verificar rapidamente:
- Voltando ao resultado do Passo 4,
- Checagem rápida (diferenciação): derivando
obtém-se - derivada de
é , - derivada de
é . - Somando, os termos com
cancelam, sobrando , que é exatamente o integrando. Logo está correto.
- derivada de
Passo 7
Observações finais e incentivo:
- A fórmula útil que você pode memorizar para futuros exercícios é
válida para
(e estendível por continuidade nos extremos com cuidado).
- Bom trabalho! Isto é um padrão: para integrais de inversas (arcsin, arctan etc.) frequentemente usar integração por partes com
a inversa funciona bem.