Questão 2. [2 pts.] Seja
. Encontre, por definição de derivada,
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar
— a derivada primeira de — usando a definição de derivada. - Encontrar
— a derivada segunda de — também por definição de derivada.
Informações que temos: a expressão algébrica de
(um polinômio de segundo grau). Não há outros dados numéricos; a tarefa é simbólica.
Passo 2
Recordando a definição de derivada (a ferramenta que vamos usar):
Para uma função qualquer , a derivada de
no ponto
é dada por
Para uma função qualquer
Aqui:
-
é um incremento pequeno que se aproxima de zero; -
é o valor da função quando a variável é aumentada em ; - a razão
é chamada de quociente diferencial (ou diferença incremental); - se o limite existir, ele é a derivada
.
Vamos aplicar essa definição diretamente em
.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na expressão de
:
Expandindo termo a termo:
Portanto
Passo 4
Formar o numerador do quociente diferencial
. Como
, temos
Agora cancelam-se os termos iguais
,
e
, sobrando
Fatorando
(importante para simplificar o quociente):
Logo o quociente diferencial é, para
,
Passo 5
Agora aplicamos o limite quando
:
porque o limite de
quando
é
. Assim encontramos a derivada primeira:
Passo 6
Calcular
por definição, aplicando a mesma ideia mas agora à função
. Usamos
Calcule
:
Subtraindo
obtemos
Dividindo por
(para
) dá
. Tomando o limite:
Portanto a derivada segunda é a constante
.