Questão 2. [2 pts.] Seja f(x)=x^{2}-3 x+2. Encontre, por definição de derivada, f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{2}-3x+2\, e pede duas coisas:
  • Encontrar \,f^{\prime}(x)\, — a derivada primeira de \,f\, — usando a definição de derivada.
  • Encontrar \,f^{\prime\prime}(x)\, — a derivada segunda de \,f\, — também por definição de derivada.
Informações que temos: a expressão algébrica de \,f(x)\, (um polinômio de segundo grau). Não há outros dados numéricos; a tarefa é simbólica.

Passo 2

Recordando a definição de derivada (a ferramenta que vamos usar):
Para uma função qualquer \,g(x)\,, a derivada de \,g\, no ponto \,x\, é dada por
\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Aqui:
  • \,h\, é um incremento pequeno que se aproxima de zero;
  • g(x+h) é o valor da função quando a variável é aumentada em \,h;
  • a razão \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} é chamada de quociente diferencial (ou diferença incremental);
  • se o limite existir, ele é a derivada g'(x).
Vamos aplicar essa definição diretamente em f(x)=x^{2}-3x+2.

Passo 3

Calcular \,f(x+h)\,. Substituindo x+h na expressão de f:
f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+2.
Expandindo termo a termo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}, \qquad -3(x+h)=-3x-3h.
Portanto
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+2.

Passo 4

Formar o numerador do quociente diferencial \,f(x+h)-f(x). Como f(x)=x^{2}-3x+2, temos
f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+2)-(x^{2}-3x+2).
Agora cancelam-se os termos iguais x^{2}, -3x e +2, sobrando
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h.
Fatorando h (importante para simplificar o quociente):
f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3).
Logo o quociente diferencial é, para h\neq 0,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-3.

Passo 5

Agora aplicamos o limite quando h\to 0:
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(2x+h-3\bigr)=2x-3,
porque o limite de h quando h\to 0 é 0. Assim encontramos a derivada primeira:
f^{\prime}(x)=2x-3.

Passo 6

Calcular \,f^{\prime\prime}(x)\, por definição, aplicando a mesma ideia mas agora à função \,f^{\prime}(x)=2x-3. Usamos
f^{\prime\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}.
Calcule f^{\prime}(x+h):
f^{\prime}(x+h)=2(x+h)-3=2x+2h-3.
Subtraindo f^{\prime}(x)=2x-3 obtemos
f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)=(2x+2h-3)-(2x-3)=2h.
Dividindo por h (para h\neq0) dá \dfrac{2h}{h}=2. Tomando o limite:
f^{\prime\prime}(x)=\lim_{h\to 0}2=2.
Portanto a derivada segunda é a constante 2.

Resposta

f^{\prime}(x)=2x-3
f^{\prime\prime}(x)=2

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