Questão 4. [2 pts.] Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada e derivável. Defina
g(x)=\left\{\begin{array}{ll} f\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0 \end{array} .\right.
Prove que h(x)=x^{n} g(x) é derivável, para todo inteiro positivo n.
Lembre que: uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é limitada quando existe uma constante K>0 tal que -K \leq f(x) \leq K, \forall x \in \mathbb{R}.
Passo 1
Dados do enunciado (lista clara do que temos e do que se pede):
Foi dada uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) que é diferenciável em todo \(\mathbb{R}\) e limitada: existe \(K>0\) tal que \(-K\le f(t)\le K\) para todo \(t\in\mathbb{R}\).
- Define-se
\[g(x)=\begin{cases} f\!\left(\dfrac{1}{x}\right), & \text{se } x\neq0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0, \end{cases}
e em seguida
h(x)=x^{n}g(x),
onde n\] é um inteiro positivo.
- O pedido: mostrar quando \(h é derivável (ou seja, provar que h é derivável e, se necessário, indicar restrições sobre n).]
Passo 2
Derivabilidade para x\neq0. Explicação didática:
Primeiro observar que a função \varphi(x)=\dfrac{1}{x} é diferenciável em todo x\neq0 e tem derivada
\varphi'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Isto vem da regra básica da diferenciação de potências: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}. Aqui a variável é x.
Como f é diferenciável em todo \mathbb{R}, a composição f\circ\varphi é diferenciável em todo ponto onde \varphi é diferenciável (regra da cadeia). Logo g(x)=f(1/x) é diferenciável para todo x\neq0.
Agora, h(x)=x^{n}g(x) é produto de duas funções diferenciáveis em x\neq0: x^{n} (derivável sempre) e g(x) (derivável em x\neq0). Pelo produto de funções diferenciáveis, h é diferenciável em todo x\neq0.
Para ficar completo, podemos escrever a derivada em x\neq0 usando produto e cadeia:
válido para todo x\neq0. (Aqui foi usada a regra do produto e a regra da cadeia; cada símbolo está bem definido: f' é a derivada de f e aparece avaliada em 1/x.)
Passo 3
Valor de h(0) e objetivo de derivabilidade em 0.
Pelo enunciado, g(0)=0. Logo
h(0)=0^{n}g(0)=0.
Para verificar derivabilidade em 0 devemos analisar o limite que define a derivada em 0:
Portanto o problema de existência de h'(0) reduz-se a estudar o limite \lim_{x\to0}x^{n-1}g(x).
Passo 4
Uso da hipótese de limitado para avaliar o limite em 0 (caso n\ge2).
Como f é limitada por K, temos para todo t\in\mathbb{R} que |f(t)|\le K. Em particular, para x\neq0 a definição de g dá |g(x)|=|f(1/x)|\le K.
Então, para todo x\neq0,
\left|x^{n-1}g(x)\right|\le |x|^{n-1} K.
Se n\ge2 então n-1\ge1, e |x|^{n-1}K\to0 quando x\to0. Pelo princípio do confronto (teorema do sanduíche), concluímos que
\lim_{x\to0}x^{n-1}g(x)=0.
Assim, para todo n\ge2 a derivada em 0 existe e é igual a 0. Em conjunto com a derivabilidade em x\neq0 (Passo 2), obtemos que h é diferenciável em todo \mathbb{R} quando n\ge2.
Passo 5
Análise do caso n=1 (mostrar que a afirmação original, sem ressalva, é falsa).
Não há, a partir das hipóteses de diferenciabilidade e limitado de f, garantia de que \lim_{t\to\pm\infty}f(t) exista. Logo \lim_{x\to0}f(1/x) pode não existir, e assim h'(0) pode não existir quando n=1.
Exemplo concreto e simples que ilustra a falha para n=1: tomar f(t)=\sin t. Então f é diferenciável e limitada (com K=1). Para x\neq0 temos g(x)=\sin(1/x) e g(0)=0, logo h(x)=xg(x)=x\sin(1/x). O limite \lim_{x\to0}\sin(1/x) não existe, portanto
não existe, de modo que h não é diferenciável em 0 neste caso. Isso mostra que a conclusão desejada só pode ser garantida quando n\ge2.
Passo 6
Conclusão e interpretação final, com motivação intuitiva curta.
Intuitivamente: o fator x^{n} “anula” a oscilação de g(x)=f(1/x) quando n é suficientemente grande; concretamente, multiplicar por x^{n} faz com que x^{n-1}g(x) tenda a 0 por causa da boundedness de g sempre que n-1\ge1, ou seja, n\ge2. Para n=1 não há esse amortecimento e a oscilação pode impedir a existência da derivada em 0.
Resposta
h é derivável em \mathbb{R} para todo inteiro positivo n\ge 2.\nPara n=1 a afirmação não é verdadeira em geral (contraexemplo: f(t)=\sin t, quando h(x)=x\sin(1/x) não é derivável em 0).