1. \int \operatorname{cotg} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{cotg} 3x \, dx.
Aqui vamos usar a definição \cot(u)=\frac{\cos u}{\sin u} e uma substituição simples para tratar o 3x.

Passo 2

Defina u = 3x. Então
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \cot(3x)\,dx = \int \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\,dx = \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cot(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \cot(u)\,du = \ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{3}\int \cot(u)\,du = \frac{1}{3}\ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando para x com u=3x, a primitiva fica
\frac{1}{3}\ln\bigl|\sin(3x)\bigr| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\bigl|\sin(3x)\bigr| + C

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