1. \int e^{-x} \operatorname{tg}\left(e^{-x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int e^{-x}\,\tan\bigl(e^{-x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição de variável, pois vemos e^{-x} dentro e fora da tangente.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
u = e^{-x}.
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = -e^{-x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int e^{-x}\,\tan\bigl(e^{-x}\bigr)\,dx = \int \tan(u)\,\bigl(-du\bigr) = -\int \tan(u)\,du.

Passo 4

Agora basta integrar \tan(u). Lembrando a fórmula
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl\lvert\cos(u)\bigr\rvert + C,
concluímos que
-\int \tan(u)\,du = -\bigl(-\ln\lvert\cos(u)\rvert + C\bigr) = \ln\lvert\cos(u)\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original u=e^{-x}, a solução final é
\ln\bigl\lvert\cos\bigl(e^{-x}\bigr)\bigr\rvert + C.

Resposta

\ln\lvert\cos(e^{-x})\rvert + C

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