\int x \operatorname{sec} ^{2}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}.
Diferenciando ambos os lados,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u),
logo
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}\tan(u) + C.
Voltando à variável original x (isto é, u = x^{2}), obtemos
\frac{1}{2}\tan\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\tan\bigl(x^{2}\bigr)+C

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