\int \operatorname{sec} ^{2} 3 \theta d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(3\theta)\,d\theta.
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica do tipo \operatorname{sec}^{2}(u), que tem primitiva \tan(u). Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, definindo uma nova variável que simplifique o argumento da função.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3\theta,
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du = 3\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad d\theta = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(3\theta)\,d\theta = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C.
Assim,
\frac{1}{3}\,\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{3}\,\bigl(\tan(u) + C\bigr) = \frac{1}{3}\,\tan(u) + C',
onde C' é constante de integração genérica. Voltando à variável original u=3\theta, fica
\frac{1}{3}\,\tan(3\theta) + C'.

Resposta

\int \operatorname{sec}^{2}(3\theta)\,d\theta = \frac{1}{3}\,\tan(3\theta) + C.

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