Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, a) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y+y z^{2}+x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xy + yz^{2} + xz^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}}.
Para funções de várias variáveis, para o limite existir, ele deve ser o mesmo em qualquer curva de aproximação ao ponto.

Passo 2

Considere a aproximação pelo plano z=0. Nesse caso a expressão reduz para
f(x,y,0)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Aproxime agora ao longo de retas do tipo y=kx (com k\neq0) e z=0. Substituindo y=kx em f(x,kx,0) vem
\frac{x\,(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}} =\frac{kx^{2}}{x^{2}(1+k^{2})} =\frac{k}{1+k^{2}},
que depende de k.

Passo 4

Por exemplo, se k=1 o valor é \tfrac12 e se k=2 o valor é \tfrac{2}{5}. Como obtemos resultados diferentes para caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados