1. Por que a definição de função de várias variáveis é considerada uma extensão natural da definição de função de uma variável? Quais ajustes conceituais são necessários para lidar com esse novo contexto?

Passo 1

O enunciado pergunta por que a definição de função de várias variáveis é uma “extensão natural” da de uma variável e quais ajustes conceituais precisamos fazer. O conteúdo aqui é a noção de função como mapeamento (ou aplicação) e como ela se generaliza de domínio em \mathbb{R} para domínio em \mathbb{R}^n. Para resolver, vamos comparar as duas definições e identificar o que muda (os ajustes) e o que permanece igual (a naturalidade).

Passo 2

Na definição de uma função de uma variável, temos
f: D \subseteq \mathbb{R} \;\longrightarrow\; \mathbb{R},
onde cada ponto x\in D é um número real e f(x) é outro real. Para a de várias variáveis, simplesmente trocamos o domínio de \mathbb{R} por \mathbb{R}^n:
f: D \subseteq \mathbb{R}^n \;\longrightarrow\; \mathbb{R}.
A “extensão natural” vem do fato de que mantemos a mesma ideia de mapeamento: “cada ponto do domínio é associado a exatamente um valor de saída”.

Passo 3

Os ajustes conceituais principais decorrem de o argumento de f agora ser um vetor \mathbf{x} = (x_1, x_2,\dots,x_n) em vez de um número. Precisamos então:
  1. Definir o espaço \mathbb{R}^n como conjunto de n-uplas reais.
  2. Introduzir uma norma \|\mathbf{x}\| (normalmente a euclidiana) para medir distâncias:
\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.
  1. Usar essa norma para construir bolas abertas
B_r(\mathbf{a}) = \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n : \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|<r\},
que substituem os intervalos (a-r,\,a+r) de uma variável.

Passo 4

Com esses ajustes na noção de vizinhança, redefinimos limites e continuidade exatamente como em uma variável, mas agora \mathbf{x}\to\mathbf{a} significa \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|\to0. Isso implica:
  • O limite \displaystyle\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}f(\mathbf{x})=L exige que para todo \varepsilon>0 exista \delta>0 tal que, se \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|<\delta, então |f(\mathbf{x})-L|<\varepsilon.
  • A continuidade em \mathbf{a} é o caso limite igual a f(\mathbf{a}).
  • Aparecem também múltiplas direções de aproximação, levando a conceitos como derivadas parciais e direcionais.

Resposta

A definição de função de várias variáveis é uma extensão natural porque continuamos com a mesma noção de função (um mapeamento que associa a cada ponto do domínio exatamente um valor), trocando apenas o domínio de \mathbb{R} por \mathbb{R}^n. Os ajustes necessários são:
– Reconhecer o argumento como vetor \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n).
– Introduzir uma norma \|\mathbf{x}\| para medir distância e definir bolas abertas em \mathbb{R}^n.
– Adaptar definições de limite e continuidade usando essa norma, e lidar com múltiplas direções de aproximação (derivadas parciais, limites de caminhos diferentes etc.).

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