- Por que a definição de função de várias variáveis é considerada uma extensão natural da definição de função de uma variável? Quais ajustes conceituais são necessários para lidar com esse novo contexto?
Passo 1
O enunciado pergunta por que a definição de função de várias variáveis é uma “extensão natural” da de uma variável e quais ajustes conceituais precisamos fazer. O conteúdo aqui é a noção de função como mapeamento (ou aplicação) e como ela se generaliza de domínio em
para domínio em
. Para resolver, vamos comparar as duas definições e identificar o que muda (os ajustes) e o que permanece igual (a naturalidade).
Passo 2
Na definição de uma função de uma variável, temos
onde cada ponto
é um número real e
é outro real. Para a de várias variáveis, simplesmente trocamos o domínio de
por
:
A “extensão natural” vem do fato de que mantemos a mesma ideia de mapeamento: “cada ponto do domínio é associado a exatamente um valor de saída”.
Passo 3
Os ajustes conceituais principais decorrem de o argumento de
agora ser um vetor
em vez de um número. Precisamos então:
- Definir o espaço
como conjunto de -uplas reais. - Introduzir uma norma
(normalmente a euclidiana) para medir distâncias:
- Usar essa norma para construir bolas abertas
que substituem os intervalos
de uma variável.
Passo 4
Com esses ajustes na noção de vizinhança, redefinimos limites e continuidade exatamente como em uma variável, mas agora
significa
. Isso implica:
- O limite
exige que para todo exista tal que, se , então . - A continuidade em
é o caso limite igual a . - Aparecem também múltiplas direções de aproximação, levando a conceitos como derivadas parciais e direcionais.
Resposta
A definição de função de várias variáveis é uma extensão natural porque continuamos com a mesma noção de função (um mapeamento que associa a cada ponto do domínio exatamente um valor), trocando apenas o domínio de
por
. Os ajustes necessários são:
– Reconhecer o argumento como vetor .
– Introduzir uma norma para medir distância e definir bolas abertas em
.
– Adaptar definições de limite e continuidade usando essa norma, e lidar com múltiplas direções de aproximação (derivadas parciais, limites de caminhos diferentes etc.).
– Reconhecer o argumento como vetor
– Introduzir uma norma
– Adaptar definições de limite e continuidade usando essa norma, e lidar com múltiplas direções de aproximação (derivadas parciais, limites de caminhos diferentes etc.).